Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
E = Ek +Ev = ^V(x) + V(x). Отсюда мы находим абсолютную величину скорости частицы
u(x) = J^-(E- V(X)) V то
Пусть скорость положительна и частица движется слева направо. По мере приближения к точке X2 потенциальная энергия возрастает, а кинетическая энергия и скорость частицы уменьшаются покуда частица не достигнет точки X2, где ее скорость обратится в нуль. Однако в этой точке на частицу действует сила, направленная налево (dV/dx\Х2 > 0), и частица отразится от точки х2 и начнет ускоренно двигаться влево, пока не достигнет минимума потенциальной энергии, где ее скорость максимальна, затем она начнет замедляться, дойдет до точки arj, отразится от нее и начнет двигаться вправо. Таким образом, частица будет совершать периодические колебания между точками Xi и X2 с периодом Т. Точки Xi и X2 называются точками поворота 1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц
31
Для того чтобы вычислить плотность вероятности нахождения частицы в точке х отрезка [2:1,2:2], возьмем небольшой интервал dx около точки X и определим время dt, за которое частица проходит этот интервал. Беря отношение длины интервала к скорости частицы, получаем
Пусть частица совершает движение в течение большого промежутка времени ti, такого, что fi = пТ+At, где At « Т. За это время частица будет находиться в интервале dx в течение времени <2 = 2ndt (множитель 2 появился из-за того, что за период T частица дважды проходит этот отрезок, один раз слева направо, а другой — справа налево). Поэтому вероятность dw того, что частица будет находиться внутри отрезка dx, определяется следующим выражением:
Следовательно, искомая плотность вероятности найти частицу в точке X есть
dw — lim
2 ndt 2 dx
n-юо пТ + At Tu (ж)
X < Xi,
(1.18)
О,
X > X2-
График плотности вероятности для потенциальной ямы, которая изображена на рис. 1, и для значения энергии Е, которое там указано, приведен на рис. 2. 32
Глава I. Одномерное движение
Ркп(я)
Плотность вероятности найти частицу в точках поворота оказывается максимальной, так как в этих точках скорость частицы обращается в нуль. Плотность вероятности найти частицу минимальна в точке, где потенциальная энергия принимает свое минимальное значение, так как в этой точке скорость частицы максимальна. Классическая Q Xl X2 ~ частица не может находиться в
областях с координатами х < xi Рис. 2. Классическая плотность ве-и х > так как при этом
роятности. скорость классической частицы
оказывается комплексной. Как следствие, и плотность вероятности обнаружить классическую частицу в этих областях станет комплексной, что не имеет физического смысла. Поэтому в выражении (1.18), которое является определением классической плотности вероятности, за границами интервала [жі,жг] плотность вероятности положена равной нулю. Глава 2.
Прямоугольная потенциальная яма
Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в поле с потенциальной энергией вида (см. рис. 3)
I
—а
II , III
v(x); а
К, J_
V(x)
0, X < -а,
-Vo1 N < а,
0, X > а.
Рис. 3. Прямоугольная потенциальная яма.
Здесь а — полуширина, a Vq — глубина потенциальной ямы. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде
¦ф(х) = 0.
В данной задаче потенциал ограничен снизу величиной —Vo, а следовательно, и спектр энергий ограничен снизу:
E > -V0.
Потенциал на бесконечности обращается в нуль. Следовательно, дискретный спектр может быть только при отрицательных энергиях. При положительных энергиях спектр только сплошной.
Далее, потенциал является четной функцией х, а следовательно, можно считать, что собственные функции уравнения Шредингера являются либо четными, либо нечетными. Разобьем ось X на три области:
I: X < —а.
II:
а < X < а, III: х > а. 34
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
для которых а и —а являются граничными точками, и представим волновую функцию в виде
г фі(х), X Єї, ф(х) = ф2{х), X Є II, . ф3(х), X Є III.
Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно записать в виде
<Р 2ш0 '
dx2 H2
ФЛх) = О,
d 2 m0 dx2 +
(E + F0)
ф2(х) = О,
d2 2 m0 drf +
M*) = о,
ж Є I, x Є II, ж Є III.
Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с первой производной, функции фі, ф2 и Фз оказываются связанными так называемыми условиями сшивания
(2.1)
фі{-а) = ф2{-а), ф2{а) = ф3{а), ф'1(-а)=ф!г(-а), ф'2{а) = ф'3(а).
2.1. Отрицательные энергии
Рассмотрим область отрицательных энергий — Vo < E < 0, возьмем некоторое произвольное значение энергии E и введем обозначения
а = х1-^Е> О, X =
2тпо
(V0 +Е) > 0.
(2.2)
В формулах (2.2) берется арифметическое значение квадратного корня. Напишем общее решение в каждой из трех областей:
фі (ж) = Ai еах + Bi е~ах, ф2 (ж) = A2 sin усх + B2 cos xx, фз{х) =А3еах + В3е-ах. 2.1. Отрицательные энергии
35
В этих выражениях имеется шесть коэффициентов: Ai, A2, A3, Bi, b2 и Bz- Для их определения необходимо использовать условия сшивания в точках а и —а (четыре условия) и граничные условия (1-12) на іоо (два условия), т. е. шесть условий. Однако, требуется еще удовлетворить условию нормировки, которое оказывается седьмым. Следовательно, при произвольной энергии E всем необходимым условиям удовлетворить не удается. Однако можно считать энергию E седьмой неизвестной величиной. Тогда число уравнений будет совпадать с числом неизвестных, и эта система уравнений уже может иметь решение, хотя и не всегда. Поскольку волновая функция должна быть нормируемой, т. е. интегрируемой с квадратом модуля, коэффициенты Bi и A3, стоящие при возрастающих экспонентах, должны быть положены равными нулю. Далее, как говорилось ранее, мы можем выбрать в качестве собственных функций такие решения, которые обладают определенной четностью.
