Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 10

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 32 >> Следующая


E = Ek +Ev = ^V(x) + V(x). Отсюда мы находим абсолютную величину скорости частицы

u(x) = J^-(E- V(X)) V то

Пусть скорость положительна и частица движется слева направо. По мере приближения к точке X2 потенциальная энергия возрастает, а кинетическая энергия и скорость частицы уменьшаются покуда частица не достигнет точки X2, где ее скорость обратится в нуль. Однако в этой точке на частицу действует сила, направленная налево (dV/dx\Х2 > 0), и частица отразится от точки х2 и начнет ускоренно двигаться влево, пока не достигнет минимума потенциальной энергии, где ее скорость максимальна, затем она начнет замедляться, дойдет до точки arj, отразится от нее и начнет двигаться вправо. Таким образом, частица будет совершать периодические колебания между точками Xi и X2 с периодом Т. Точки Xi и X2 называются точками поворота 1.5. Сравнение движения квантовой и классической частиц

31

Для того чтобы вычислить плотность вероятности нахождения частицы в точке х отрезка [2:1,2:2], возьмем небольшой интервал dx около точки X и определим время dt, за которое частица проходит этот интервал. Беря отношение длины интервала к скорости частицы, получаем

Пусть частица совершает движение в течение большого промежутка времени ti, такого, что fi = пТ+At, где At « Т. За это время частица будет находиться в интервале dx в течение времени <2 = 2ndt (множитель 2 появился из-за того, что за период T частица дважды проходит этот отрезок, один раз слева направо, а другой — справа налево). Поэтому вероятность dw того, что частица будет находиться внутри отрезка dx, определяется следующим выражением:

Следовательно, искомая плотность вероятности найти частицу в точке X есть

dw — lim

2 ndt 2 dx

n-юо пТ + At Tu (ж)



X < Xi,

(1.18)

О,

X > X2-

График плотности вероятности для потенциальной ямы, которая изображена на рис. 1, и для значения энергии Е, которое там указано, приведен на рис. 2. 32

Глава I. Одномерное движение

Ркп(я)

Плотность вероятности найти частицу в точках поворота оказывается максимальной, так как в этих точках скорость частицы обращается в нуль. Плотность вероятности найти частицу минимальна в точке, где потенциальная энергия принимает свое минимальное значение, так как в этой точке скорость частицы максимальна. Классическая Q Xl X2 ~ частица не может находиться в

областях с координатами х < xi Рис. 2. Классическая плотность ве-и х > так как при этом

роятности. скорость классической частицы

оказывается комплексной. Как следствие, и плотность вероятности обнаружить классическую частицу в этих областях станет комплексной, что не имеет физического смысла. Поэтому в выражении (1.18), которое является определением классической плотности вероятности, за границами интервала [жі,жг] плотность вероятности положена равной нулю. Глава 2.

Прямоугольная потенциальная яма

Рассмотрим стационарные состояния частицы с массой то, движущейся в поле с потенциальной энергией вида (см. рис. 3)

I

—а

II , III

v(x); а

К, J_

V(x)

0, X < -а,
-Vo1 N < а,
0, X > а.

Рис. 3. Прямоугольная потенциальная яма.

Здесь а — полуширина, a Vq — глубина потенциальной ямы. Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишем в виде



¦ф(х) = 0.

В данной задаче потенциал ограничен снизу величиной —Vo, а следовательно, и спектр энергий ограничен снизу:

E > -V0.

Потенциал на бесконечности обращается в нуль. Следовательно, дискретный спектр может быть только при отрицательных энергиях. При положительных энергиях спектр только сплошной.

Далее, потенциал является четной функцией х, а следовательно, можно считать, что собственные функции уравнения Шредингера являются либо четными, либо нечетными. Разобьем ось X на три области:

I: X < —а.

II:

а < X < а, III: х > а. 34

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

для которых а и —а являются граничными точками, и представим волновую функцию в виде

г фі(х), X Єї, ф(х) = ф2{х), X Є II, . ф3(х), X Є III.

Тогда уравнение Шредингера для стационарного состояния можно записать в виде

<Р 2ш0 '

dx2 H2

ФЛх) = О,

d 2 m0 dx2 +

(E + F0)

ф2(х) = О,

d2 2 m0 drf +

M*) = о,

ж Є I, x Є II, ж Є III.

Поскольку волновая функция должна быть непрерывной вместе с первой производной, функции фі, ф2 и Фз оказываются связанными так называемыми условиями сшивания

(2.1)

фі{-а) = ф2{-а), ф2{а) = ф3{а), ф'1(-а)=ф!г(-а), ф'2{а) = ф'3(а).

2.1. Отрицательные энергии

Рассмотрим область отрицательных энергий — Vo < E < 0, возьмем некоторое произвольное значение энергии E и введем обозначения

а = х1-^Е> О, X =

2тпо

(V0 +Е) > 0.

(2.2)

В формулах (2.2) берется арифметическое значение квадратного корня. Напишем общее решение в каждой из трех областей:

фі (ж) = Ai еах + Bi е~ах, ф2 (ж) = A2 sin усх + B2 cos xx, фз{х) =А3еах + В3е-ах. 2.1. Отрицательные энергии

35

В этих выражениях имеется шесть коэффициентов: Ai, A2, A3, Bi, b2 и Bz- Для их определения необходимо использовать условия сшивания в точках а и —а (четыре условия) и граничные условия (1-12) на іоо (два условия), т. е. шесть условий. Однако, требуется еще удовлетворить условию нормировки, которое оказывается седьмым. Следовательно, при произвольной энергии E всем необходимым условиям удовлетворить не удается. Однако можно считать энергию E седьмой неизвестной величиной. Тогда число уравнений будет совпадать с числом неизвестных, и эта система уравнений уже может иметь решение, хотя и не всегда. Поскольку волновая функция должна быть нормируемой, т. е. интегрируемой с квадратом модуля, коэффициенты Bi и A3, стоящие при возрастающих экспонентах, должны быть положены равными нулю. Далее, как говорилось ранее, мы можем выбрать в качестве собственных функций такие решения, которые обладают определенной четностью.
Предыдущая << 1 .. 4 5 6 7 8 9 < 10 > 11 12 13 14 15 16 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed