Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Сравним движение квантовой и классической частиц. При положительной энергии все классические частицы проходят через яму. Коэффициент отражения равен нулю. Потенциальная яма лишь меняет время прохождения, так как скорость движения частицы в яме больше, чем скорость движения частицы вне ямы (кинетическая энергия частицы в яме больше, чем вне ямы). Поэтому классическая частица, проходя через яму, приходит в конечную точку раньше, чем она пришла бы, если бы ямы не было. Квантовая частица может не только пройти через яму, но и отразиться от нее. Это различие велико при малых энергиях (велик коэффициент отражения, и, следовательно, велико отличие от единицы коэффициента прохождения). При больших энергиях поведение квантовой частицы мало отличается от поведения классической частицы.
Мы видели, что при некоторых энергиях яма оказывается полностью прозрачной для квантовой частицы (коэффициент отражения обращается в нуль). Соответствующие уровни энергии были названы резонансными. Для того чтобы понять причину такого названия, рассмотрим ту же задачу с другим выбором общего решения. Вместо (2.11) представим общее решение в каждой из трех областей
(2.15) 2.1. Отрицательные энергии
47
(IjII1III) в виде
¦ф\(х) = А\ cos(кх + т)і), ¦ф2[х) = A2 cos(xx + Г)2), ¦ф3{х) = А3 cos(kx + г]з).
При таком выборе решений, в задаче также имеется шесть свободных параметров: A2, Аз, щ, Tj2 и ^3.
Рассмотрим сначала четное решение. В этом случае
V 2 =0, Ai = A3, T)i = -т)з,
и условия сшивания в точке а принимают вид
A2cos(xa) = A3cos(ka + т)з), —хА2 Sin(Xa) = — кАз sin(A:a + щ).
Разделив почленно второе уравнение на к, возведя правую и левую части каждого уравнения в квадрат и сложив почленно получившиеся уравнения, найдем
|А2|2 ^cos2(Xa) + = |А3|2.
Отсюда, раскрывая выражение для коэффициента перед синусом:
_ V0+ E Vo
к2 E ~ E' приходим к выражению
IA2I2 = - |АЗ
2
1 + sin2(xa) E
Если амплитуду волны вне ямы выбрать равной единице при всех энергиях (|Аз| = 1), то амплитуда внутри ямы будет зависеть от E следующим образом:
IA21 = -V0-• (2Л6)
1 + — sin2(xa) E 48
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
IA2(E) I2
Рис. 11. Квадрат амплитуды волновой функции внутри потенциальной ямы.
График зависимости квадрата амплитуды (2.17) четной функции Ip+ внутри ямы от энергии приведен на рис. 11. На этом же рисунке приведен аналогичный график | A2(JS)12 для нечетного решения ip-, которое мы рассмотрим ниже. Квадрат амплитуды не превосходит единицы, осциллирует и достигает максимума при
sinxa = О,
т.е. при
xa = ?тг = (2.17)
что соответствует энергии резонанса. Именно благодаря такому поведению амплитуды внутри ямы рассматриваемые состояния получили название резонансові колебания снаружи ямы возбуждают колебания внутри ямы, амплитуда которых при изменении энергии достигает максимума, когда энергия совпадает с энергией резонансного уровня. Это похоже на классический резонанс, состоящий в том, что амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой. Однако это только аналогия, хотя и полезная. В случае резонанса волновая функция на границах ямы принимает свои экстремальные значения (яр(а) = яр(—а) = ±А2), а значение производной от 2.1. Отрицательные энергии
49
волновой функции обращается в нуль. Условие (2.17) соответствует энергиям En нечетных состояний (п = 2?) в яме с бесконечными стенками. То, что четный резонанс соответствует нечетному состоянию в яме с бесконечными стенками, объясняется просто. В случае резонанса в сплошном спектре в нуль на границе ямы обращается производная от волновой функции, а в случае дискретного уровня — сама волновая функция, отсюда и разница в фазе на 7г/2.
Рассмотрим теперь нечетное решение. В этом случае
^AA
m =2' Л1 = A3, Tj1 = ~Т]3, и условия сшивания в точке а принимают вид
A2 sin (яга) = A3 соя(ка + %), усА2 cos(xa) = —кА3 sin(/ca + rj3).
Аналогично предыдущему получаем
И2І2 =
Из I
1 + -^cos2(Xa) E
Максимум амплитуды внутри ямы достигается при
= \ +1* = + (2-18)
что соответствует энергиям четных состояний Е2?+1 в яме с бесконечными стенками. При нечетном резонансе волновая функция на границах ямы достигает своих экстремальных значений (ip(a) = —ф(—а) = ±А2), а значение производной от волновой функции обращается в нуль, как и в случае четного резонанса.
Схематически (без соблюдения масштаба), взаимное расположение уровней энергии в конечной и бесконечной ямах и резонансов в конечной яме приведено на рис. 12. 50
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
E
Є
iE ' +
+00
V(x) +00
V0
¦ +
¦ +
О
¦ +
О
; +
O
О
о x
Рис. 12. Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной яме конечной и бесконечной глубины. Стрелками отмечены положение и четность резонансов.
Формулы (2.17) и (2.18), которые являются частными случаями формулы (2.14), можно записать в виде
2ах
= П,
