Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Используя (1.15), получаем
Н(х)ф(-х) = Еф(-х).
Таким образом, ф(—х) также есть собственная функция оператора H с тем же самым собственным числом Е. Здесь имеются две возможности: а) уровень E не вырожден; б) уровень E двукратно вырожден.
Рассмотрим обе возможности:
а) уровень E не вырожден. В этом случае функция ф(—х) может
лишь множителем отличаться от функции ф(х):
ф(-х) = С ф(х). Изменяя в этом равенстве знак у х, получаем ф(х) = Сф(-х).
Следовательно,
ф(х) = C2 ф(х),
или
C2 = 1, C = ±1.
Это означает, что собственная функция оператора H есть либо четная функция х:
ф(-х) = ф(х), либо нечетная функция х:
ф{-х) = -ф(х);
б) уровень двукратно вырожден. Если найденное решение таково,
что ф(х) и ф(—х) линейно зависимы, то мы приходим с случаю а). Если же ф(х) и ф{—х) линейно независимы, то любая их линейная комбинация, в частности, их сумма или разность, является нетривиальным решением уравнения (1.15), т.е. собственной функцией оператора Н. При этом
ф{х) + ф(—х) — четная функция х, ф(х) — ф(—х) — нечетная функция х. 1.4. Энергетический спектр
25
Таким образом, при наличии инверсии собственные функции оператора Гамильтона либо автоматически имеют определенную четность, либо могут быть преобразованы в функции, имеющие определенную четность. Во всяком случае, собственные функции всегда можно искать в виде функций, имеющих определенную четность. В частности, можно решать уравнение лишь на половине интервала, например, [0,э;2], а решение на оставшейся части интервала [—2:2,0] находить с помощью симметрии, строя либо четное решение, если ¦ф(0) -ф 0, либо нечетное, если ф(0) = 0.
1.4. Энергетический спектр
Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может двигаться в бесконечном интервале — оо < х < оо:
+ vWtW = Еф(х)' <Ы7)
Предположим, что потенциал У (а:) не сингулярен, но может иметь конечное число разрывов первого рода. Раз потенциал не сингулярен, он может обращаться в бесконечность только при х —» ±оо. Обозначим наименьшее из V(—00) и V (оо) через V-, а наибольшее через V+.
Пусть V- — — оо. В этом случае у задачи нет дискретного спектра. Спектр чисто сплошной и занимает всю ось энергий от — оо до +оо. Чтобы показать это, воспользуемся теоремой сравнения (п. 11 разд. 1.1). Сравним решение яр(х) уравнения (1.17), которое запишем в виде
г + q2{xh = 0, q2(x) = ^(e - ]/(*)), с решением ф(х) уравнения
ф" + qi(x)4> = 0, q1(x) = 1.
Предположим для определенности, что потенциал стремится к — оо только справа, т.е. при х —> оо. Тогда для любого E < 0 можно найти такое х+, что
w-
У(ж) < E — -—, если x > x+. 26
Глава I. Одномерное движение
Таким образом при ж > ац_ справедливо следующее неравенство: Q2(x) > Qi(x), и из теоремы сравнения (п. 11 разд. 1.1) следует, что между двумя нулями функции ф(х), расположенными при х > х+, будет находиться, по крайней мере, один нуль функции ф(х), причем независимо от выбора частных решении ф(х) и гр(х) при рассматриваемом значении Е.
Возьмем конкретное частное решение ф(х) = sin ж. Число нулей этого решения, расположенных правее х+, бесконечно велико. Следовательно, любое решение ф(х) также имеет бесконечное число нулей. Однако волновая функция, соответствующая первому (наинизшему) дискретному уровню энергии, не должна иметь нулей при конечных X (п. 21 разд. 1.1), она обращается в нуль только при X ±оо. Следовательно, в рассматриваемом случае не существует ни одного дискретного уровня энергии. В то же самое время если нулевые граничные условия поставлены при любых, сколь угодно больших по абсолютной величине, но конечных значениях ж і и Xi, то существует бесконечно много дискретных уровней энергии (п. 20 разд. 1.1). Расстояние между соседними уровнями уменьшается при увеличении длины интервала [ж^жг], и при х\ -» —оо, ж2 —> +оо дискретный спектр перейдет в сплошной спектр, заполняющий всю вещественную ось энергий.
Далее мы будем рассматривать тот случай, когда величина V_ конечна. В этом случае потенциал V (ж) ограничен снизу:
Отметим, что V- и Vmin, вообще говоря, не совпадают. Вследствие ограниченности потенциала энергетический спектр частицы также ограничен снизу величиной Vmm. Действительно, энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией гр(х), есть сумма
V{x) > Уті:
E = Ek + Е,
'V
кинетической
OO
—оо 1.4. Энергетический спектр
27
и потенциальной
OO
Ev = J il)*{x)V(x)iP(x)dx
— OO
энергии. Здесь предполагается, что волновая функция нормирована на единицу:
OO
\ip(x)\2 dx = 1.
OO /
Рассматривая кинетическую энергию, беря интеграл по частям и учитывая, что внеинтегральный член обращается в нуль, получаем
& *
= — f 2m0 J
2
di[)(x)
dx
dx > 0.
Поскольку оператор потенциальной энергии есть оператор умножения, для потенциальной энергии можно написать
OO OO
Ev = J \ij(x)\2V(x)dx > Vmin J \lP(x)\2dx = Vni11,
-OO -OO
так как волновая функция нормирована на единицу. Таким образом, E = Ek + Ev > Vnin-
