Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 8

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 32 >> Следующая


Используя (1.15), получаем

Н(х)ф(-х) = Еф(-х).

Таким образом, ф(—х) также есть собственная функция оператора H с тем же самым собственным числом Е. Здесь имеются две возможности: а) уровень E не вырожден; б) уровень E двукратно вырожден.

Рассмотрим обе возможности:

а) уровень E не вырожден. В этом случае функция ф(—х) может

лишь множителем отличаться от функции ф(х):

ф(-х) = С ф(х). Изменяя в этом равенстве знак у х, получаем ф(х) = Сф(-х).

Следовательно,

ф(х) = C2 ф(х),

или

C2 = 1, C = ±1.

Это означает, что собственная функция оператора H есть либо четная функция х:

ф(-х) = ф(х), либо нечетная функция х:

ф{-х) = -ф(х);

б) уровень двукратно вырожден. Если найденное решение таково,

что ф(х) и ф(—х) линейно зависимы, то мы приходим с случаю а). Если же ф(х) и ф{—х) линейно независимы, то любая их линейная комбинация, в частности, их сумма или разность, является нетривиальным решением уравнения (1.15), т.е. собственной функцией оператора Н. При этом

ф{х) + ф(—х) — четная функция х, ф(х) — ф(—х) — нечетная функция х. 1.4. Энергетический спектр

25

Таким образом, при наличии инверсии собственные функции оператора Гамильтона либо автоматически имеют определенную четность, либо могут быть преобразованы в функции, имеющие определенную четность. Во всяком случае, собственные функции всегда можно искать в виде функций, имеющих определенную четность. В частности, можно решать уравнение лишь на половине интервала, например, [0,э;2], а решение на оставшейся части интервала [—2:2,0] находить с помощью симметрии, строя либо четное решение, если ¦ф(0) -ф 0, либо нечетное, если ф(0) = 0.

1.4. Энергетический спектр

Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может двигаться в бесконечном интервале — оо < х < оо:

+ vWtW = Еф(х)' <Ы7)

Предположим, что потенциал У (а:) не сингулярен, но может иметь конечное число разрывов первого рода. Раз потенциал не сингулярен, он может обращаться в бесконечность только при х —» ±оо. Обозначим наименьшее из V(—00) и V (оо) через V-, а наибольшее через V+.

Пусть V- — — оо. В этом случае у задачи нет дискретного спектра. Спектр чисто сплошной и занимает всю ось энергий от — оо до +оо. Чтобы показать это, воспользуемся теоремой сравнения (п. 11 разд. 1.1). Сравним решение яр(х) уравнения (1.17), которое запишем в виде

г + q2{xh = 0, q2(x) = ^(e - ]/(*)), с решением ф(х) уравнения

ф" + qi(x)4> = 0, q1(x) = 1.

Предположим для определенности, что потенциал стремится к — оо только справа, т.е. при х —> оо. Тогда для любого E < 0 можно найти такое х+, что

w-

У(ж) < E — -—, если x > x+. 26

Глава I. Одномерное движение

Таким образом при ж > ац_ справедливо следующее неравенство: Q2(x) > Qi(x), и из теоремы сравнения (п. 11 разд. 1.1) следует, что между двумя нулями функции ф(х), расположенными при х > х+, будет находиться, по крайней мере, один нуль функции ф(х), причем независимо от выбора частных решении ф(х) и гр(х) при рассматриваемом значении Е.

Возьмем конкретное частное решение ф(х) = sin ж. Число нулей этого решения, расположенных правее х+, бесконечно велико. Следовательно, любое решение ф(х) также имеет бесконечное число нулей. Однако волновая функция, соответствующая первому (наинизшему) дискретному уровню энергии, не должна иметь нулей при конечных X (п. 21 разд. 1.1), она обращается в нуль только при X ±оо. Следовательно, в рассматриваемом случае не существует ни одного дискретного уровня энергии. В то же самое время если нулевые граничные условия поставлены при любых, сколь угодно больших по абсолютной величине, но конечных значениях ж і и Xi, то существует бесконечно много дискретных уровней энергии (п. 20 разд. 1.1). Расстояние между соседними уровнями уменьшается при увеличении длины интервала [ж^жг], и при х\ -» —оо, ж2 —> +оо дискретный спектр перейдет в сплошной спектр, заполняющий всю вещественную ось энергий.

Далее мы будем рассматривать тот случай, когда величина V_ конечна. В этом случае потенциал V (ж) ограничен снизу:

Отметим, что V- и Vmin, вообще говоря, не совпадают. Вследствие ограниченности потенциала энергетический спектр частицы также ограничен снизу величиной Vmm. Действительно, энергия частицы в состоянии, описываемом волновой функцией гр(х), есть сумма

V{x) > Уті:

E = Ek + Е,

'V

кинетической

OO

—оо 1.4. Энергетический спектр

27

и потенциальной

OO

Ev = J il)*{x)V(x)iP(x)dx

— OO

энергии. Здесь предполагается, что волновая функция нормирована на единицу:

OO

\ip(x)\2 dx = 1.

OO /

Рассматривая кинетическую энергию, беря интеграл по частям и учитывая, что внеинтегральный член обращается в нуль, получаем

& *

= — f 2m0 J

2

di[)(x)

dx

dx > 0.

Поскольку оператор потенциальной энергии есть оператор умножения, для потенциальной энергии можно написать

OO OO

Ev = J \ij(x)\2V(x)dx > Vmin J \lP(x)\2dx = Vni11,

-OO -OO

так как волновая функция нормирована на единицу. Таким образом, E = Ek + Ev > Vnin-
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed