Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
17. Если матрица Г сингулярна (Д = 0), но не нулевая и граничные условия являются неоднородными, то система (1.8) также является неоднородной и у нее либо нет решений, либо существует бесконечное множество решений. В рассматриваемом случае соотношение пропорциональности (1.10) по-прежнему имеет место. Следовательно, если не выполнено равенство
C1 = дС2,
то система (1.8) оказывается несовместной и не имеет решений. Если же это равенство выполняется, то, как и в предыдущем случае, каждое из уравнений (1.8а) и (1.86) является следствием другого и для нахождения А и В необходимо рассматривать только одно из уравнений, например, (1.8а):
711-4 + 712-? = C1. 16
Глава I. Одномерное движение
Таким образом, и здесь две неизвестные величины А и JJ подчинены одному линейному уравнению. Следовательно, в рассматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) имеет бесконечное множество решений. Все эти решения образуют одномерное функциональное пространство.
Задача на собственные значения
До сих пор мы рассматривали решения дифференциального уравнения (1.2), поскольку именно такой вид имеет уравнение Шредингера для стационарных состояний в одномерном случае. При этом мы считали коэффициенты P1 (х) и P2(X), входящие в уравнение (1.2), заданными функциями. Однако уравнение Шредингера это не просто дифференциальное уравнение, а уравнение для волновой функции. На волновую функцию из физических соображений накладываются некоторые дополнительные условия, которые в одномерном случае можно сформулировать в виде однородных граничных условий (1.6) или (1.7) (см. следующий раздел).
Как мы видели, уравнение (1.2) с однородными граничными условиями имеет нетривиальное решение только если определитель Д обращается в нуль. В то же время в уравнение Шредингера входит энергия Е, которая заранее не определена. Изменяя Е, можно подобрать такие значения Eic, при которых определитель Д обращается в нуль, и, следовательно, соответствующие этим Ek решения грі удовлетворяют необходимым дополнительным условиям. Такие Ek и Ipk называются собственными значениями (собственными числами) и собственными функциями уравнения Шредингера. Если одному и тому же Ek соответствует несколько линейно независимых решений, то говорят, что собственное число Ek является вырожденным, а число соответствующих линейно независимых решений называется кратностью вырождения.
Аналогичная задача в теории обыкновенных дифференциальных уравнений называется задачей Штурма—Лиувилля, которая в применении к нашему случаю состоит в исследовании решений уравнения
¦ф"(х) + ^ (Е - V(x)) ф(х) = 0 (1.11а) 1.1. Линейные дифференциальные уравнения
17
с однородными граничными условиями
ацК®і) + Mi(X1) = O1 а2тР(х2) + ?2Tp'(x2) = 0, (1.116)
или
O11Tp(X1) + CX12Tp1(X1) + CXi3Tp(X2) + Ot14Tp1(X2) = 0, , .
CX2ITp(X1) + Ot22Tp1(X1) + Ot23Tp(X2) + CX24Tp1(X2) =0, В)
где интервал [xi,x2] может быть конечным или бесконечным. Как правило, в задаче Штурма—Лиувилля рассматриваются вещественные решения.
Возьмем конечный интервал [X1, х^. Результаты для бесконечного интервала могут быть получены путем соответствующего предельного перехода.
18. В соответствии со сказанным в п. 14-16 уравнение (1.11а) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее однородным граничным условиям (1.116) или (1.11в), только если определитель Д матрицы Г (1.9) равен нулю. Зафиксировав некоторое значение Е, можно найти фундаментальную систему Ip1, <р2, вычислить матричные элементы Jtj (1.9) и определитель Д. Повторяя эти вычисления при разных значениях Е, мы получаем функцию Д (E). Тогда собственные числа будут решениями уравнения
Д (E) = 0.
Для каждого собственного числа E^ собственные функции образуют одномерное или двумерное функциональное пространство. Поэтому собственные числа задачи (1.11) либо невырождены, либо двукратно вырождены. В случае граничных условий (1.116) все собственные числа являются невырожденными. Однако при использовании граничных условий (1.11в) уравнение Штурма—Лиувилля может иметь дважды вырожденные собственные числа. Примером является уравнение с постоянным потенциалом V (х) = Vo и периодическими граничными условиями ip(x2) = тр(хі), тр'(х2) = Tp1(X1).
19. Расстояние между любыми соседними собственными числами уравнения Штурма—Лиувилля конечно (не бесконечно мало), 18
Глава I. Одномерное движение
т. е. спектр является чисто дискретным (напомним, что здесь рассматривается интервал [2:1,0:2] конечной длины).
20. Спектр ограничен снизу (для интервала конечной длины), но не ограничен сверху.
21. Собственная функция, соответствующая наименьшему собственному числу не имеет нулей внутри интервала (ж і ,X2)- Нули могут быть только на границах интервала (если того требуют граничные условия).
22. Вследствие однородности уравнения и граничных условий в качестве собственных функций можно выбрать функции, нормированные на единицу:
Х2
J iPl(x)dx = 1.
X1
23. Собственные функции Ipi и rpj, принадлежащие разным собственным числам E1 ф E3, ортогональны
