Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Четные решения
Для того чтобы решение было четным, положим
= B3, A2 = 0.
Условия сшивания можно рассматривать только в точке х = а, в силу симметрии условия сшивания в точке х = —а будут выполнены автоматически:
B2Cosxa= Взе~оа, —хВ2 sin яга = —аВз е~аа.
Мы получили систему двух линейных однородных уравнений относительно двух неизвестных: B2 и Эта система имеет нетривиальное решение только если определитель системы равен нулю. Вычисляя определитель и приравнивая его к нулю, получим трансцендентное уравнение
X tg яга = а.
То же самое уравнение можно получить, если разделить почленно второе уравнение из системы на первое. Из данного трансцендентного уравнения мы должны найти энергию Е. Преобразуем уравнение к более удобному виду. Для этого введем две величины:
? = яга, г] = аа. (2.3) 36
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
Поскольку яг и а положительны, ? и г] также положительны. С их помощью трансцендентное уравнение можно записать в виде
V = t Ы- (2.4)
Помимо этого уравнения величины ? и т] связаны еще одним условием, которое можно получить, вычислив сумму ?2 +rf. В результате приходим к уравнению
Є + V2 = Q, (2.5)
где параметр ямы Q определен формулой
Q = «»(*» + а») = 2^Vo-
(2.6)
Теперь мы можем рассматривать ? и г] как независимые переменные, связанные двумя уравнениями: (2.4) и (2.5). Решить эти уравнения удобнее всего графическим методом, как показано на рис. 4. Построим два графика функции т] = г](?), которые соответствуют уравнениям (2.4) и (2.5). Достаточно рассмотреть только первый квадрант, так как ? и т] положительны.
Кривая rj = viO' задаваемая уравнением (2.4), представляет собой бесконечный набор ветвей, причем I-я ветвь (? — 1,... , оо) начинается со значения т] = 0 в точке ? = (І — 1)7Г и монотонно возрастает до бесконечности в точке І = (Є - 1)тг + тг/2. Кривая, соответствующая уравнению (2.5), представляет собой окружность, радиус которой равен y/Q. Точки пересечения кривых дают значения ? и г], при которых выполнены оба уравнения ((2.4) и (2.5)), т. е. дают искомые решения. Зная значение ??, соответствующее I-й точке пересечения, мы с помощью
формул (2.2) и (2.3) находим энергию I-го состояния
= +
Зтг/2
6 тг/2
Рис. 4. Графическое решение уравнения (2.4). 2.1. Отрицательные энергии
37
Рассматривая график, можно сделать следующие выводы:
1. Для четных решений при любых значениях а и Vo имеется хотя
бы одна точка пересечения кривых Поэтому в яме с любой шириной и глубиной существует, по крайней мере, один четный дискретный уровень.
2. При любых конечных значениях а и Vo число дискретных четных
уровней в яме конечно.
Описанный способ был удобен для исследования трансцендентного уравнения. Для того чтобы найти численное значение энергии ?-го уровня, удобно преобразовать систему уравнений (2.4) и (2.5). Беря уравнение (2.5) и подставляя в него 7] из уравнения (2.4), получаем
Учитывая, что мы ищем t-й уровень, произведем замену переменной
так, что новая переменная z будет изменяться в интервале О < Z < 7г/2. Используя тригонометрическое тождество, извлекая квадратный корень и учитывая, что cosz в рассматриваемом интервале положителен, приходим к уравнению
которое легко решается, например, методом деления промежутка пополам.
Нечетные решения
Для того чтобы решение было нечетным, необходимо положить
Тогда опять-таки можно рассматривать условия сшивания только в точке X = а:
e(i+tg4) = Q-
? = г + {? - 1)тг
A1 = -B3, B2 = 0.
A2 sin яга = B3 е кA2 cos уса ~~ —аВ3е
—аа
—аа 38
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
О
7т/2 У ж Зп/2
Теперь вместо (2.4) получаем другое уравнение:
4 = -t Ctge (2.7)
Переменные (,иг) по-прежнему связаны условием (2.5). Решение
системы уравнений (2.7) и rj (2-5) графическим методом
проводится аналогично случаю четных решений. Соответствующие кривые т) ~ т](?) изображены на рис. 5. Из рисунка
видно, что точка пересечения кривых есть не всегда. Она существует, если радиус окружности больше 7г/2 (окружность а),
т.е., если параметр Q (2.6) удовлетворяет неравенству Q > 7г2/4. Если же это неравенство не выполнено (окружность Ъ), то кривые не пересекаются. Таким образом, мы приходим к следующим выводам:
3. В яме находится хотя бы один нечетный дискретный уровень,
если параметр ямы Q достаточно велик.
4. При любых конечных значениях а и Vo число дискретных нечет-
ных уровней в яме конечно (или нуль).
В случае потенциальной ямы конечной ширины 2а > 0 и конечной глубины Vo > 0 легко найти общее число дискретных уровней: четных и нечетных. Для этого достаточно подсчитать число пересечений окружностей радиусом \fQ с вертикальными прямыми линиями, абсциссы которых кратны 7г/2:
Рис. 5. Графическое решение уравнения (2.7).
N =
2 VQ
+ 1,
(2-8)
где [ж] означает целую часть числа х.
Сравнение поведения квантовой и классической частиц в потенциальной яме. Энергия частицы отрицательна
Первое отличие состоит в возможных значениях энергии. Классическая частица может иметь любую энергию в интерва- 2.1. Отрицательные энергии
