Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 11

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 32 >> Следующая


Четные решения

Для того чтобы решение было четным, положим

= B3, A2 = 0.

Условия сшивания можно рассматривать только в точке х = а, в силу симметрии условия сшивания в точке х = —а будут выполнены автоматически:

B2Cosxa= Взе~оа, —хВ2 sin яга = —аВз е~аа.

Мы получили систему двух линейных однородных уравнений относительно двух неизвестных: B2 и Эта система имеет нетривиальное решение только если определитель системы равен нулю. Вычисляя определитель и приравнивая его к нулю, получим трансцендентное уравнение

X tg яга = а.

То же самое уравнение можно получить, если разделить почленно второе уравнение из системы на первое. Из данного трансцендентного уравнения мы должны найти энергию Е. Преобразуем уравнение к более удобному виду. Для этого введем две величины:

? = яга, г] = аа. (2.3) 36

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

Поскольку яг и а положительны, ? и г] также положительны. С их помощью трансцендентное уравнение можно записать в виде

V = t Ы- (2.4)

Помимо этого уравнения величины ? и т] связаны еще одним условием, которое можно получить, вычислив сумму ?2 +rf. В результате приходим к уравнению

Є + V2 = Q, (2.5)

где параметр ямы Q определен формулой

Q = «»(*» + а») = 2^Vo-

(2.6)

Теперь мы можем рассматривать ? и г] как независимые переменные, связанные двумя уравнениями: (2.4) и (2.5). Решить эти уравнения удобнее всего графическим методом, как показано на рис. 4. Построим два графика функции т] = г](?), которые соответствуют уравнениям (2.4) и (2.5). Достаточно рассмотреть только первый квадрант, так как ? и т] положительны.

Кривая rj = viO' задаваемая уравнением (2.4), представляет собой бесконечный набор ветвей, причем I-я ветвь (? — 1,... , оо) начинается со значения т] = 0 в точке ? = (І — 1)7Г и монотонно возрастает до бесконечности в точке І = (Є - 1)тг + тг/2. Кривая, соответствующая уравнению (2.5), представляет собой окружность, радиус которой равен y/Q. Точки пересечения кривых дают значения ? и г], при которых выполнены оба уравнения ((2.4) и (2.5)), т. е. дают искомые решения. Зная значение ??, соответствующее I-й точке пересечения, мы с помощью

формул (2.2) и (2.3) находим энергию I-го состояния

= +

Зтг/2

6 тг/2

Рис. 4. Графическое решение уравнения (2.4). 2.1. Отрицательные энергии

37

Рассматривая график, можно сделать следующие выводы:

1. Для четных решений при любых значениях а и Vo имеется хотя

бы одна точка пересечения кривых Поэтому в яме с любой шириной и глубиной существует, по крайней мере, один четный дискретный уровень.

2. При любых конечных значениях а и Vo число дискретных четных

уровней в яме конечно.

Описанный способ был удобен для исследования трансцендентного уравнения. Для того чтобы найти численное значение энергии ?-го уровня, удобно преобразовать систему уравнений (2.4) и (2.5). Беря уравнение (2.5) и подставляя в него 7] из уравнения (2.4), получаем

Учитывая, что мы ищем t-й уровень, произведем замену переменной

так, что новая переменная z будет изменяться в интервале О < Z < 7г/2. Используя тригонометрическое тождество, извлекая квадратный корень и учитывая, что cosz в рассматриваемом интервале положителен, приходим к уравнению

которое легко решается, например, методом деления промежутка пополам.

Нечетные решения

Для того чтобы решение было нечетным, необходимо положить

Тогда опять-таки можно рассматривать условия сшивания только в точке X = а:

e(i+tg4) = Q-

? = г + {? - 1)тг

A1 = -B3, B2 = 0.

A2 sin яга = B3 е кA2 cos уса ~~ —аВ3е

—аа

—аа 38

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

О

7т/2 У ж Зп/2

Теперь вместо (2.4) получаем другое уравнение:

4 = -t Ctge (2.7)

Переменные (,иг) по-прежнему связаны условием (2.5). Решение

системы уравнений (2.7) и rj (2-5) графическим методом

проводится аналогично случаю четных решений. Соответствующие кривые т) ~ т](?) изображены на рис. 5. Из рисунка

видно, что точка пересечения кривых есть не всегда. Она существует, если радиус окружности больше 7г/2 (окружность а),

т.е., если параметр Q (2.6) удовлетворяет неравенству Q > 7г2/4. Если же это неравенство не выполнено (окружность Ъ), то кривые не пересекаются. Таким образом, мы приходим к следующим выводам:

3. В яме находится хотя бы один нечетный дискретный уровень,

если параметр ямы Q достаточно велик.

4. При любых конечных значениях а и Vo число дискретных нечет-

ных уровней в яме конечно (или нуль).

В случае потенциальной ямы конечной ширины 2а > 0 и конечной глубины Vo > 0 легко найти общее число дискретных уровней: четных и нечетных. Для этого достаточно подсчитать число пересечений окружностей радиусом \fQ с вертикальными прямыми линиями, абсциссы которых кратны 7г/2:

Рис. 5. Графическое решение уравнения (2.7).

N =

2 VQ

+ 1,

(2-8)

где [ж] означает целую часть числа х.

Сравнение поведения квантовой и классической частиц в потенциальной яме. Энергия частицы отрицательна

Первое отличие состоит в возможных значениях энергии. Классическая частица может иметь любую энергию в интерва- 2.1. Отрицательные энергии
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed