Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 6

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 32 >> Следующая


хч

J ipi(x)ipj(x)dx = 0.

Xl

24. Будем увеличивать длину интервала [х\,х2], которую обозначим d, и предположим, что при этом потенциальная энергия остается ограниченной сверху:

V(x) < V0, Vr Є [XljX2],

причем верхняя граница Vo потенциала не зависит ни от X1, ни от X2. Тогда при увеличении d расстояние EftJtl — Efi между соседними высоковозбужденными уровнями Ek » Vq будет убывать обратно пропорционально d. Это означает, что если мы ставим граничные условия на интервале бесконечной длины, то у частицы спектр энергий может быть сплошным частично или полностью.

В следующем разделе мы рассмотрим условия, накладываемые на волновую функцию исходя из физических особенностей рассматриваемой задачи. 1.2. Волновая функция

19

1.2. Волновая функция

В квантовой механике на волновую функцию ip (ж) из физических соображений накладываются дополнительные условия. Во-первых, поскольку квадрат модуля волновой функции в точке х имеет смысл плотности вероятности найти частицу в этой точке, то волновая функция должна быть нормируемой (интегрируемой с квадратом модуля). В случае бесконечного интервала — оо < х < оо для сходимости нормировочного интеграла волновая функция должна стремиться к нулю, причем достаточно быстро, при стремлении |х| к бесконечности. Следовательно, граничными условиями для волновой функции в случае бесконечного интервала является равенство нулю волновой функции на бесконечности. Отметим, что в этом случае не только сама волновая функция, но и ее производная обращается на бесконечности в нуль.

Во-вторых, для частицы должны иметь смысл импульс и кинетическая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовлетворять таким граничным условиям, при учете которых, возможно построение самосопряженных операторов импульса и кинетической энергии. Проблема состоит в том, что операторы импульса и кинетической энергии являются неограниченными операторами (как импульс, так и кинетическая энергия могут принимать сколь угодно большие значения), а неограниченный оператор задан не во всем гильбертовом пространстве (но область его определения плотна в гильбертовом пространстве). Построение самосопряженного оператора (точнее, построение самосопряженного расширения неограниченного оператора) представляет собой довольно сложную математическую задачу, решение которой для операторов импульса и кинетической энергии в одномерном случае приводит к следующим результатам. Возможны только два типа граничных условий: один для бесконечного —оо < х < оо, а другой для конечного: Xi < х < X2 интервалов, для полубесконечного же интервала 0 < х < оо построить самосопряженный оператор импульса не удается. В случае бесконечного интервала на функцию следует наложить нулевые граничные условия

ф{-оо) = 0, ^(оо) = 0, (1.12)

т. е. в этом случае граничные условия не отличаются от ограничений вытекающих из условия нормировки волновой функции. В слу- 20

Глава I. Одномерное движение

чае конечного интервала на функцию необходимо наложить граничное условие

Ф(х2) = е^фіхг), а на первую производную — условие

Ф'(х2) = е^ф'іхг),

(1.13)

(1.14)

где a — произвольная вещественная константа, сщна и та же в (1.13) и (1.14).

Поясним, как получаются эти условия. Оператор А является самосопряженным, если оператор, сопряженный с А, совпадает с А. Поэтому самосопряженный оператор должен быть, в частности, симметричным. Напишем условия симметричности для операторов импульса

D /

фЦх)

-ih--dx

ф2(x)dx = I J фЦх)

-ih~ dx

фі(х) dx

и кинетическои энергии

о

/ ГЛх)

h2 &

2тпо dx2

¦ф.2(x)dx= І У Ф1{х)

H2 d2

2mo dx2

ф\{х)йх

Здесь фі и ф2 суть две произвольные функции из области определения операторов, а знак «*» означает комплексное сопряжение. Выполняя интегрирование по частям, получаем, что для симметричности внеинтегральные члены должны обращаться в нуль, т. е. должны быть выполнены равенства

Ф1(х)Ф2(Х)

= о,

¦Фі ---—

dx

= 0. 1.2. Волновая функция

21

Очевидно, что при нулевых граничных условиях ф(а) = 0, ф{Ъ) = О внеинтегральные члены обращаются в нуль для любого интервала: конечного Xi < X < Х2, полубесконечного 0 < X < оо или бесконечного —оо < X < оо. Следовательно, при нулевых граничных условиях рассматриваемые операторы являются симметричными. Однако кроме симметричности для самосопряженности необходимо, чтобы совпадали области определения исходного оператора и оператора сопряженного с исходным.

Оказывается, что при нулевых граничных условиях самосопряженными будут: оператор кинетической энергии для всех трех интервалов и оператор импульса для бесконечного интервала. Оператор же импульса для конечного и полубесконечного интервалов не является самосопряженным, и надо производить расширение, используя более общие граничные условия. Известно, что построить самосопряженное расширение для оператора импульса в случае полубесконечного интервала не удается. Для конечного же интервала оператор импульса получается самосопряженным при граничном условии (1-13) (нулевые граничные условия являются частным случаем условий (1.13)). Для того чтобы при этом оператор кинетической энергии остался самосопряженным, на производную следует наложить условие (1.14).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed