Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
C1Ip1(X) + C2If2(X) + C3Ifi3(X) = 0, C1 ф 0, C2 ф 0, C3 ф 0.
5. Из п. 4 следует, что если Ifi1(X) и Ifi2 (х) есть два линейно независимых решения уравнения (1.2), то функция
ф(х) = Afp1(X) + Bip2(X) (1.3)
при любых значениях коэффициентов А и В является решением уравнения (1.2), и, наоборот, любое решение уравнения (1.2) может быть представлено в виде (1.3). Решение уравнения (1.2), записанное в виде (1.3) с произвольными коэффициентами А и В, принято называть общим решением. Любое конкретное решение, соответствующее определенным значениям коэффициентов А и В, принято называть частным решением. 10
Глава I. Одномерное движение
6. Совокупность двух линейно независимых решений ц>\ (х) и f2(x) уравнения (1.2) называется фундаментальной системой. Очевидно, что фундаментальную систему можно выбрать бесконечным числом способов, и переход от одной фундаментальной системы (ip\(x), <р2 (х)) к другой (фі(х), <Р2(х)) осуществляется с помощью линейного преобразования
Sll Si2 \ / <Рі{х) \ f фі{х) S21 S22 J \ tp2(x) J у ф2(х) с несингулярной матрицей S.
Определитель Вронского, составленный из функций фундамен-
тальной системы и их производных первого порядка W(x) = det
V?i(ar) <р2(х) ip[(x) <р'2(х)
является в общем случае функцией х. Определитель Вронского фундаментальной системы не обращается в нуль ни в одной точке внутри интервала [ari,ar2]:
У/{х)фО VxG{x1: х2).
8. Теорема Грина. Если в уравнении (1.2) коэффициент при первой производной равен нулю во всех точках интервала [жі, аг2], то значение определителя Вронского не зависит от точки в которой оно вычислено (т.е. равно константе, отличной от нуля):
W[x) = const ф 0 Var.
В уравнении (1.2) Р\{х) = 0, и условие теоремы Грина выполнено.
9. Из вещественности коэффициентов уравнения (1.2) следует, что в качестве фундаментальной системы решений можно всегда выбрать систему вещественных частных решений.
10. Теорема Штурма. Рассмотрим вещественные решения 'ф{х) уравнения (1.2). Если хг и хг+і представляют собой два последовательных нуля какого-нибудь решения фі (х) этого уравнения, то у любого другого решения 4>2{х), линейно независимого с ipi(x), существует в точности один нуль между X1 и хг+і. 1.1. Линейные дифференциальные уравнения
11
11. Теорема сравнения. Рассмотрим два однородных уравнения
гР'{ + Qi(x)ih = О, + Qi(x)^2 = О
и их вещественные решения. Если Q2 (ж) > Qi (х) на интервале (а, Ь), то между двумя нулями любого решения первого уравнения в этом интервале найдется, по крайней мере, один нуль каждого решения второго уравнения.
Дифференциальное уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений. Однако чаще всего из физической задачи следует не только дифференциальное уравнение, но также и некоторые дополнительные требования, которым должно удовлетворять решение уравнения. Наиболее естественно формулировать эти дополнительные требования в виде условий, накладываемых на коэффициенты А и В общего решения (1.3) уравнения (1.2). Поскольку в (1.3) имеется два произвольных коэффициента, то, чтобы получить определенное решение, необходимо наложить два дополнительных условия.
Обычно различают два способа задания дополнительных условий в зависимости от того, в одной или разных точках интервала [ж і, жг] они поставлены:
а) оба условия налагаются на общее решение дифференциального уравнения в одной точке X1; такие условия называются начальными условиями, а отыскание частного решения удовлетворяющего начальным условиям называется задачей Коши ;
б) можно условия наложить в двух точках хі,х2; такие условия называются граничными условиями, а задача решения дифференциального уравнения с граничными условиями называется краевой задачей.
Задача Коши
Наложим на решение уравнения (1.2) в точке ж і начальные условия вида
Ф(хі) = C1, V(X1) = C2. (1.4)
12. Если коэффициенты уравнения удовлетворяют весьма слабым условиям (так называемым условиям Липшица), то задача Коши всегда имеет решение, причем единственное (теорема 12 Глава I. Одномерное движение
Коши). Если решение ip(х) изобразить в виде кривой на плоскости (x,ip), то высказанное утверждение означает, что через выбранную точку (X1, Сі) плоскости прохсщит одна и только одна кривая с заданным наклоном к оси х (тангенс угла наклона равен C2).
13. Из теоремы Коши следует, что среди всего многообразия фундаментальных систем существует такая, функции Ip1 (х) и (р2(х) которой удовлетворяют условиям
(Piix1) = 1, Ip2(X1) = О,
^1(X1) = О, V2M = 1- 1 j
Такая фундаментальная система называется нормальной фундаментальной системой. Она является наиболее удобной для использования. Очевидно, что определитель Вронского нормальной фундаментальной системы в точке X1 равен единице:
W(X1) = det
(P1(X1) (P2(X1)
v1(^1) v2(^1)
= 1.
Краевая задача
Наложим на решение уравнения (1.2) граничные условия, т.е. в двух точках X1 и х2 наложим условия вида
Ctiip(X1) + P1V(X1) = Cb a2ip(x2) + ?2V(x2) = C2, (1.6)
где хотя бы одна из констант , ?\ Є С и хотя бы одна из констант а2, /?2 Є С отлична от нуля. Если константы С\ = C2 — 0, то граничные условия называются однородными, в противном случае — неоднородными. Граничные условия с /? = ?2 = 0 называются условиями первого рода (условиями Дирихле), граничные условия с O1 = а2 = 0 называются условиями второго рода (условиями Неймана). Общие условия вида (1.6) еще называют условиями третьего рода.
