Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что разнообразие всевозможных модельных задач не исчерпывается рассмотренными в данном пособии одномерными по- 6
Предисловие
тенциалами. Пособие не претендует на сколько-нибудь полное освещение этого круга вопросов. Однако подробный анализ, который сопровождает решение каждой задачи, призван помочь студентам вникнуть в физический смысл полученных результатов, «оживить» громоздкие математические конструкции квантовой механики, сделав их ясными и прозрачными.
Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам пособия — профессорам А. В. Тулубу и Е. Д. Трифонову за внимательное прочтение рукописи и ряд ценных замечаний, а также профессору И. В. Комарову и доценту В. Ф. Братцеву за плодотворную дискуссию по некоторым математическим вопросам, обсуждаемым в данном пособии. Глава 1.
Одномерное движение
Простейшие модели — это модели физических систем, идеализированные настолько, что они допускают точное решение и анализ. Однако они сохраняют существенные черты реальных физических задач. Рассмотрение простейших моделей позволяет описать и наглядно представить себе поведение квантовых частиц в разных ситуациях. Основываясь на чтих моделях, можно проводить качественный анализ реальных задач, а также разрабатывать эффективные приближенные методы. Основным упрощением является использование одной переменной, так что уравнение Шредингера для стационарных состояний из уравнения в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, решить которое значительно легче.
Рассмотрим некоторые общие свойства движения частицы в одномерном случае. Обозначим через х пространственную переменную, которая изменяется в пределах —оо<х<оо. Будем исследовать стационарное состояние частицы, волновая функция гр(х) которого удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных состояний:
Н(х)ф{х) = Еф{х). (1.1)
Оператор Гамильтона H частицы всегда может быть представлен в виде
H = - — — + V(x) 2шо daг2
где V(x) описывает поле, в котором находится частица. В реальных задачах чаще всего приходится иметь дело с локальными полями, т. е. с такими полями, результат действия которых в данной точке определяется значением поля в этой же точке. Оператор V{x), описывающий такое поле, является оператором умножения на функцию V(x). Однако встречаются и такие ситуации, когда результат действия поля в данной точке определяется значениями поля не 8
Глава I. Одномерное движение
только в этой точке, но и в некоторой ее окрестности (может быть, и бесконечной). Такие поля называются нелокальными и описываются интегральными операторами. Мы будем рассматривать только задачи, которые соответствуют локальным полям V(x). Более того, будем предполагать, что V(x) является вещественной функцией, что соответствует реальным физическим ситуациям в отсутствие магнитного поля.
В следующем разделе мы напомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений, которая подробно изучалась в курсе высшей математики, необходимые для решения модельных задач.
1.1. Линейные дифференциальные уравнения
Выберем на оси х конечный или бесконечный интервал х\ < х < х2. На этом интервале рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с непрерывными на [хі,Х2І и вещественными коэффициентами Pi, Рг-
ф"(х) + P1(x)V(x) + Р2(х)ф(х) = 0. (1.2)
Одномерное уравнение Шредингера (1.1) для стационарных состояний соответствует такому уравнению (1.2), в котором коэффициент при первой производной тождественно равен нулю: Pi (х) = 0, а коэффициент при нулевой производной имеет вид
Р2(х) = Р2(х,Е) = ??*[E-V(x)].
Коэффициент P2 зависит от х через потенциальную энергию V(x) и содержит вещественный параметр E (полную энергию). Каждому фиксированному значению параметра E соответствует свое дифференциальное уравнение. Непрерывность коэффициента P2 означает, что потенциал V(x) не имеет особых точек внутри интервала [xi,x2], сингулярности потенциала, если они существуют, могут быть только на концах интервала.
Далее мы кратко опишем те свойства и особенности решения дифференциального уравнения (1.2), которые нам понадобятся при решении одномерного уравнения Шредингера (1.1). 1.1. Линейные дифференциальные уравнения
9
Свойства линейного дифференциального уравнения второго порядка и его решений
1. У уравнения (1.2) существует бесконечное множество решений. В силу однородности уравнения (1.2) одним из решений является тривиальное решение: ф(х) = 0. В дальнейшем мы будем рассматривать только нетривиальные решения.
2. В силу линейности уравнения (1.2) любая линеиная комбинация его решений так же является решением.
3. Напомним, что функции Ifi1 (х),... , <рп(х) называются линейно независимыми, если равенство
Ci(pi(x) + C2ip 2(х) +•¦¦+ Cnipn(x) = 0
имеет место тогда и только тогда, когда все коэффициенты в нем равны нулю:
C1 = C2 = ¦ • ¦ = Cn = 0.
4. Из множества решений однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка всегда можно выбрать два линейно независимых решения, а три любых его решения ipi(x), <р2(х), <рз(х) обязательно оказываются линейно зависимыми:
