Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
В некоторых случаях граничные условия ставятся так, что в одно и то же условие входят обе граничные точки:
Ct11Tp(X1) + CX12v(X1) + a13ip(x2) + Ct14v(X2) - C1, Ct21Ip(X1) + OL22v (^i) + а231р(х2) + Ct24v(X2) = C2. 1.1. Линейные дифференциальные уравнения
13
В этом случае задача Коши может рассматриваться как частный случай краевой задачи.
Может показаться, что замена двух начальных условий Коши (1.4) двумя граничными условиями (1.6) или (1.7) не вносит никакой дополнительной неопределенности в задачу, так как у нас по-прежнему имеются два «свободных» параметра (параметры А и В в общем решении (1.3)), с помощью которых необходимо удовлетворить двум дополнительным условиям. Однако теорема существования и единственности решения, доказанная для задачи Коши (теорема Коши), не имеет места в случае краевой задачи. Для некоторых граничных условий решения нет вообще, а существуют и такие граничные условия, которым соответствует бесконечное множество решений.
Для того чтобы исследовать краевую задачу, возьмем общее решение (1.3) и псщставим его в граничные условия (1.6) или (1.7). В результате для определения коэффициентов А и В получим систему двух алгебраических линейных неоднородных уравнений
InA + л2В = Cu (1.8а)
12iA + 722 В = C2, (1.86)
где величины Jij имеют вид
{ Oitpj(Xi) + Pitp1j(Xi), (условие (1.6)) ,
(XiIipj(Xi) + CXi2Ip1j(Xi)+ (1.9)
+ CXi3Ipj(X2) + Oi4Vj(X2), (условие (1.7)) ,
и образуют матрицу Г = |І7ц||, определитель которой обозначим Д:
Д = det{Г}.
Вопрос о том, сколько решений имеет краевая задача и существует ли решение краевой задачи вообще, равносилен более простому вопросу о том, сколько решений имеет алгебраическая задача (1-8). Здесь имеется несколько вариантов в зависимости от того, является матрица Г сингулярной или нет и являются граничные условия однородными или нет.
14. Если матрица Г не сингулярна, т.е., если определитель Д не равен нулю, то в соответствии с теоремой Крамера система (1.8) имеет только одно решение (А, В) для любых значений констант Ci и C2. Однако в случае однородных граничных 14
Глава I. Одномерное движение
условии это единственное решение представляет собой тривиальное решение А = О, В = 0. Таким образом, в рассматриваемом случае нетривиальное решение уравнения (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) существует только для неоднородных граничных условий, и это решение единственное.
15. Пусть матрица Г сингулярна (Д = 0), и более того пусть матрица Г нулевая. Такое может быть в том случае, когда обе функции фундаментальной системы удовлетворяют однородным граничным условиям. Примером является уравнение с постоянным потенциалом V(x) = Vq и периодическими граничными условиями Ip(X2) = ip(xi), чр'(х2) = Ip'(xi) (частный случай граничных условий (1.7)). Если матрица Г нулевая, а граничные условия неоднородны, то система (1.8) решений не имеет а следовательно, и уравнение (1.2) с неоднородными граничными условиями решения не имеет. Если граничные условия однородны, то каждое из уравнений системы (1.8) является тождеством 0 = 0, и коэффициенты А и В полностью произвольны. Следовательно, уравнение (1.2) с однородными граничными условиями имеет два линейно независимых решения, в качестве которых можно взять функции фундаментальной системы.
16. Пусть матрица Г сингулярна (Д = 0), но не нулевая. В частности, матрица Г будет ненулевой в случае граничных условий (1.6). Если граничные условия однородны (C1 = 0,C2 =0), то система (1.8) также является однородной и обладает бесконечным множеством решений. Однако все эти решения имеют специальный вид. Вследствие равенства нулю определителя
Д = 711722 - 712721 = 0 имеют место равенства
722 (7п А + 7x2 В) = 712 (721 А + J22 В), 721 (711 А + 712 В) = 7ц (721 A -I- 722 В).
Эти равенства означают, что
711А + J12B = g (721А + 722В)
(1.10) 1.1. Линейные дифференциальные уравнения
15
при любых А и В. Здесь g есть константа, играющая роль коэффициента пропорциональности. Если все четыре матричных элемента Jn отличны от нуля, то написанные выше равенства дают один и тот же коэффициент пропорциональности д. Если же отлична от нуля только сщна пара матричных элементов (711, 721 или 722, 712)» то коэффициент пропорциональности д определяется одним из написанных выше равенств, а второе является тождеством 0 = 0. Легко проверить, что других вариантов нет. В результате указанной пропорциональности каждое из уравнений (1.8а) и (1.86) есть следствие другого, и если величины AuB найти, решая одно из этих уравнений, например, уравнение (1.8а)
711-4 + J12B = 0,
то второе уравнение, в данном случае уравнение (1.86), будет выполнено автоматически. Поскольку две неизвестные величины А и В должны удовлетворять одному линейному однородному уравнению, то они определяются не однозначно, а с точностью до произвольного множителя. Следовательно, в рассматриваемом случае уравнение (1.2) с граничными условиями (1.6) или (1.7) имеет бесконечно много решений. Все эти решения пропорциональны друг другу, т. е. они образуют одномерное функциональное пространство.
