Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Одномерное уравнение вида (1.2) для радиальной функции P (г) на полубесконечном интервале О < г < оо возникает в том случае, когда задача о движении частицы в трехмерном пространстве решается методом разделения переменных. В этом случае можно использовать нулевые граничные условия для полубесконечного интервала О < г < оо, поскольку рассматриваемая задача является чисто математической и нам достаточно, чтобы оператор второй производной был самосопряженным независимо от того, каким будет оператор, содержащий первую производную.
В дополнение к рассмотренным условиям нормируемости волновой функции и существования операторов импульса и кинетической энергии встречаются и другие условия, которые должны быть наложены на волновую функцию.
Рассмотрим стационарное состояние, волновая функция которого должна удовлетворять уравнению Шредингера. Для этого она должна быть подчинена еще двум условиям. Первое из них состоит в том, что в той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода (скачки), волновая функция должна быть не- 22
Глава I. Одномерное движение
прерывной. В противном случае волновая функция не может быть решением уравнения Шредингера.
Действительно, пусть имеется волновая функция ф с разрывом, принадлежащая гильбертову пространству. Произведение V(x) — E и гр есть функция, принадлежащая гильбертову пространству. В то же самое время первая производная от ф, и тем более вторая производная от ф, гильбертову пространству не принадлежат. Именно, в случае разрыва первого рода волновая функция имеет скачок, а производная от скачка представляет собой <5-функцию. В случае же разрыва второго рода производная от интегрируемой особенности есть особенность не интегрируемая. Таким образом, результат действия оператора кинетической энергии на ф и умножение V(x)—E на ф приводят к качественно разным функциям. Следовательно, сумма этих функций не может быть равна нулю, т. е. ф не может быть решением уравнения Шредингера.
Используя аналогичные аргументы, можно показать, что на волновую функцию стационарного состояния необходимо наложить и второе условие. Это условие состоит в том, что в области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода, производная от волновой функции тоже должна быть непрерывной. Производная от волновой функции может иметь разрывы только в тех точках, где потенциал сингулярен.
В одномерном случае уравнение Шредингера может иметь не только квадратично интегрируемые решения, описывающие состояния дискретного спектра, но и решения, ограниченные на всей оси X. Такие решения гильбертову пространству не принадлежат, т.е., строго говоря, они не являются волновыми функциями частицы. Однако оказывается, что ограниченные на всей оси х решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, т. е. такое движение, при котором частица приходит из бесконечности и ухсщит на бесконечность. В этом случае квадрат модуля волновой функции дает не абсолютное значение плотности вероятности найти частицу в определенной точке, а относительное значение плотности вероятности, которое позволяет сравнивать друг с другом вероятности нахождения частицы в разных точках. Можно сказать, что такая волновая функция описывает не одну частицу, а поток частиц, и квадрат модуля волновой функции дает плотность частиц в данной точке потока. Очень часто такие 1.3. Симметрия
23
волновые функции также называют собственными функциями оператора Гамильтона. Это можно оправдать тем, что дифференциальное выражение, соответствующее оператору Гамильтона, позволяет пределить оператор в пространстве функций, более широком, чем гильбертово пространство. Однако строго до конца это не сделано, и в настоящее время термин «собственная функция сплошного спектра» можно использовать лишь условно.
Кроме перечисленных в разд. 1.2 общих свойств, волновая функция может также обладать и симметрийными свойствами, к изучению которых мы и переходим.
1.3. Симметрия
Если рассматриваемая физическая система обладает симметрией, эту симметрию целесообразно использовать, так как ее учет не только позволяет классифицировать состояния, но и во многих случаях упрощает решение. Симметрия одномерных систем, если она присутствует, является самой бедной. В них существует лишь одна точечная операция симметрии — инверсия, т.е. замена х на —х. Однако даже эту симметрию полезно учитывать. Предположим, что выбранный для решения интервал симметричен
жі = ~х2,
и потенциальная энергия является четной функцией
V(-®) = V(x).
В этом случае оператор Гамильтона инвариантен по отношению к операции инверсии
Н{-х) = Н(х). (1.15)
Посмотрим, какими свойствами будет в этом случае обладать волновая функция гр(х) стационарного состояния, являющаяся решением уравнения Шредингера
Н(х)ф{х) = Etp (х). (1.16)
Произведем в уравнении (1.16) замену переменной х — х: Н(-х)-ф(-х) = Еяр(-х). 24
Глава I. Одномерное движение
