Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 16

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 32 >> Следующая


ф(х) =

Аргумент косинуса хх = ?х/а в интервале от —а < х < а есть малая величина порядка у/а, т.е. cosхх и 1 в этом интервале. Для коэффициентов B2 и B3 условия сшивания и нормировки дают

B2 RS B3 и \fa.

При любых конечных значениях а и Vo волновая функция ф(х) непрерывна и имеет непрерывную производную. Полученные

выражения для энергии и волновой функции связанного состояния не содержат значений а и Vo в явном виде и потому позволяют легко сделать предельный переход (а —> 0, Vo —> оо, fi = const) к й-образной яме. При этом, полученное ранее, х приближенное выражение для энергии связанного состояния в Рис. 16. Волновая функция частицы пределе становится точным: в (5-образной яме.

E =



2 H2

U1

(2.21)

Волновая функция (см. рис. 16), соответствующая этой энергии, определяется выражением:

¦ф(х)

(

\ у/а е~

X < О, X > О,

т0 а =?П.

(2.22) 2.3. Одномерная S-образная потенциальная яма

55

Подчеркнем, что найденное связанное состояние в й-образной потенциальной яме единственное, и его волновая функция является четной. Других состояний в й-образной потенциальной яме нет, несмотря на то, что глубина ямы бесконечна.

Полученная волновая функция (2.22) остается непрерывной на всей оси х (см. рис. 16), но ее производная терпит разрыв первого рода в точке х =

гр'(+0) = агр( 0), яр'і-О) = —Ctxp(O).

Покажем, как эта волновая функция и соответствующая энергия могут быть получены из уравнения Шредингера с й-образным потенциалом.

Уравнение Шредингера с й-образной потенциальной ямой. Координатное представление

Рассмотрим уравнение Шредингера с й-образной потенциальной ямой:

- П6(х)гР(х) = Eip(x) (2.23)

и будем искать решение этого уравнения, непрерывное на всей оси х и удовлетворяющее нулевым граничным условиям на бесконечности. Непосредственно применить математический аппарат, изложенный в разд. 1.1 нельзя, так как потенциал имеет сингулярность внутри промежутка. Однако мы можем искать решение уравнения (2.23) на правой (х > 0) и левой (х < 0) полуосях отдельно, а затем соединить их непрерывно в точке х = 0. Уравнение (2.23) на правой полуоси имеет вид уравнения для свободной частицы

H2 S

Тяр(х) = Еяр(х), X > 0,

2т0 dx2

и при любом E < 0 решение, удовлетворяющее нулевому граничному условию на +оо, имеет вид

V4-(X) = е-оа\ X > 0, a = 56

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

Аналогично решение на левой полуоси, удовлетворяющее нулевому граничному условию на — оо, имеет вид

х<0, a =

Объединяя эти решения, получаем непрерывную на всей оси — оо < X < +оо функцию

ip{x) =

¦ф+{х), X > O1 ip~(x), X < О,

производная которой имеет разрыв яр'(+0) — 0) = —2а в точке х = 0. Такую функцию можно построить при любом E < 0, т.е. при любом вещественном а.

Покажем, что при определенном значении а полученная функция будет удовлетворять уравнению (2.23). Функция гр по построению удовлетворяет уравнению (2.23) на правой и левой полуосях. Поэтому нам следует рассмотреть малую ^-окрестность точки х = 0. Интегрируя уравнение (2.23) по е-окрестности нуля:

H2

2шо получаем

EEE

J ^dx^ dX ~ U / ^arM*) dx = E J ip(x) dx,

h2 W(є) - гр'(-є)) - Пф(0) = EMe) - №)).

2 mL

Переходя к пределу є —» 0 и учитывая наличие разрыва у производной волновой функции ф(х) в нуле, приходим к выражению

H2

-2a - П = 0.

2шр

Отсюда

m0 H2 2 то 2

"=W*' 2moa ~ 2.3. Одномерная S-образная потенциальная яма

57

что точно совпадает с (2.21) и (2.22). Таким образом, мы показали, что волновая функция (2.22) есть собственная функция уравнения Шредингера (2.23) с й-образным потенциалом, соответствующая единственному собственному числу (2.21).

Уравнение Шредингера с й-образной потенциальной ямой. Импульсное представление

Весьма поучительно решить задачу о движении квантовой частицы в 6-образной потенциальной яме в импульсном представлении. Для этого запишем уравнение Шредингера в операторном виде:

Переход к импульсному представлению означает, что все операторы и волновая функция должны быть записаны в переменной р. Переход от представления х к представлению р осуществляется с помощью унитарного оператора, который можно записать в виде интегрального оператора с ядром е~

-tPxIhIsfbrП. Иными словами, переход от волновой функции в х-представлении к волновой функции в р-представлении есть преобразование Фурье. Напомним, что такой вид имеет переход от координатного к импульсному представлению, в общем же случае переход от одного представления у к другому представлению z осуществляется с помощью унитарного оператора, но для разных пар переменных у и z соответствующие унитарные операторы будут разными.

Хотя мы рассматриваем переход к импульсному представлению, все формулы оказываются проще, если вместо импульса р использовать волновое число к = р/Н (волновой вектор k = р/Н в случае трехмерного пространства). Согласно вышесказанному, переход от функции тр[х) в х-представлении к функции tp(k) в /г-представлении есть преобразование Фурье
Предыдущая << 1 .. 10 11 12 13 14 15 < 16 > 17 18 19 20 21 22 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed