Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
Щ
Рис. 19. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для малой энергии (E = 0.2 1?).
Из этого рисунка видно, что при малых энергиях частица находится, главным образом, слева от барьера. Именно там велик модуль волновой функции, где последняя представляет собой интерферен- 68
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
цию падающей и отраженной волн. При увеличении энергии модуль волновой функции слева от барьера уменьшается, а справа от барьера возрастает, что соответствует увеличению коэффициента прохождения. Это хорошо видно на рис. 20, где рассмотрен тот же самый барьер, что и на рис. 19, но энергия частицы равна 0.9 Vo-
Рис. 20. Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера (E = 0.9 Vo)-
Внутри потенциального барьера (физически запрещенная область) модуль волновой функции экспоненциально затухает (см. рис. 19 и рис. 20), однако в нуль не обращается даже для самых маленьких энергий. Таким образом, для квантовой частицы существует не нулевая вероятность прохождения сквозь барьер.
3.3. Энергия выше высоты барьера
Теперь рассмотрим тот случай, когда энергия E больше, чем высота барьера V0. Здесь мы можем непосредственно использовать формулы, найденные для потенциальной ямы в случае положительных энергий, конечно, с заменой Vo на -Vo- А именно, вводя обозначения
Щ 1>(х) I T
x
t Щ
Qip
> о,
запишем волновую функцию в виде 3.2. Энергия ниже высоты барьера
69
Ip1 {х) =АіЄікх + ВіЄ-ікх, ¦ф2{х) = A2 eixx + B2 е~Ых, ір3{х) = Azeikx + B3 е~ікх
и найдем коэффициенты отражения R и прохождения T
R =
1+р'
T =
1
1+р'
где
(х2 - А;2)2 . 2 п р = sin 2^fl-
Таким образом, мы знаем коэффициенты отражения и прохождения при всех положительных энергиях. Их графики для барьера с Q = 1.757Г изображены на рис. 21.
RiT
\ / резонансы
E
Рис. 21. Зависимость коэффициентов прохождения T и отражения R от энергии частиц, налетающих на потенциальный барьер.
Вертикальная пунктирная линия показывает положение вершины потенциального барьера. При энергии ниже высоты барьера коэффициенты RkT ведут себя монотонно. Однако при энергии выше 70
Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер
высоты барьера наблюдаются осцилляции, и при некоторых значениях энергии коэффициент отражения оказывается равен нулю, т. е. барьер полностью прозрачен для частиц с такой энергией. Эти значения энергии представляют собой резонансные уровни, аналогичные тем, которые наблюдались в прямоугольной потенциальной яме.
3.4. Сравнение движения квантовой и классической частиц
1. При энергии ниже высоты барьера классические частицы не могут пройти сквозь него и отражаются, т. е. коэффициент отражения равен единице, а коэффициент прохождения равен нулю. Как мы видим, квантовые частицы могут пройти сквозь барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем его высота (см. рис. 19 и рис. 20). Это так называемый туннельный эффект. Вероятность туннелирования мала при низких энергиях и возрастает с увеличением энергии.
2. Когда энергия частицы возрастает и проходит через вершину барьера, движение классической частицы резко меняется. При энергии, сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и меньшей, чем высота барьера, частицы полностью отражаются. При энергии, сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и большей, чем высота барьера, все частицы проходят над барьером. Поведение же квантовых частиц почти не меняется, когда энергия проходит через вершину барьера.
3. При энергии выше высоты барьера классические частицы полностью проходят над барьером. Единственное, на что влияет барьер, — это скорость частицы: над барьером скорость меньше, чем вне барьера Квантовые частицы в общем случае лишь частично проходят над барьером, часть их может отразиться. Это так называемое надбарьерное отражение. Лишь при неко торых, резонансных, энергиях квантовые частицы полностью проходят барьер. Глава 4.
Частица в периодическом потенциале. Периодически расположенные потенциальные барьеры. Модель Кронига—Пенни (гребенка Дирака)
4.1. Трансляционная симметрия
Рассмотрим стационарные состояния частицы в периодическом поле. Волновая функция частицы удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных состояний
Н(х)ф(х) = Eip(x), (4.1)
где оператор Гамильтона имеет вид
й - +
а V (х) есть периодическая функция
V(x + a) = V(x) (4.2)
с периодом а. Для исследования свойств волновой функции удобно ввести оператор трансляции Ta, который действует на любую функцию f(x) следующим образом:
Taf(x) = f(x + a). (4.3)
Поскольку потенциал есть периодическая функция,
Ta V(x) = V(x).
Функцию, обладающую этим свойством, принято называть транс-ляционно инвариантной. 72
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Рассмотрим свойства оператора трансляции Ta. Оператор трансляции (4.3) определен во всем гильбертовом пространстве, так как если гр(х) есть функция, интегрируемая с квадратом модуля, то и •ф (х + а) также интегрируема с квадратом модуля. Далее, оператор трансляции является ограниченным, так как
