Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка):
W(x + a) = X1X2W(X)
в случае (4.6а) и
W(x + a) = A2 Ща;) в случае (4.66). Следовательно,
AiA2 = 1
в случае (4.6а) и 76
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
в случае (4.66).
Таким образом, мы показали, что в качестве функций фундаментальной системы уравнения Шредингера с периодическим потенциалом всегда можно взять функции, удовлетворяющие теореме Флоке, т.е. преобразующиеся при трансляции, согласно (4.6а) или (4.66). Однако не все функции, удовлетворяющие теореме Флоке, могут быть взяты в качестве волновых функций физической системы.
Действительно, рассмотрим те функции ф(х), которые удовлетворяют уравнению (4.4), т.е. функции фі{х) и ^(гг) из (4.6а) и функцию ф\{х) из (4.66). Представим параметр А, являющийся комплексным числом, в виде
А = elka,
где к — некоторое комплексное число вида к = u + iv. Тогда уравнение (4.4) примет вид
ф(х + a) = егиа-™ф(х).
Повторяя операцию трансляции п раз и вычисляя модуль функции ф(х), приходим к равенству:
\ф{х + па) I = e~nva\ф(х) I.
Отсюда видно, что если v ф 0, т. е. если к — не чисто вещественное число, то функция ф(х) неограниченно возрастает на одном из концов оси X. Действительно, при положительных V модуль волновой функции экспоненциально возрастает при х —> —оо, при отрицательных V модуль волновой функции экспоненциально возрастает при X —> оо. Если к — чисто вещественное число, то модуль волновой функции является периодической функцией X. Таким образом, ни при каких к функция ф(х) не является квадратично интегрируемой. Уравнение (4.4) имеет вид уравнения на собственные числа и собственные функции оператора трансляции. Следовательно, дискретного спектра у оператора трансляции нет.
Рассмотрим теперь функцию ф2(х) из (4.66). Покажем, что ни при каких А эта функция не является ограниченной на всей оси х. Действительно, повторяя операцию трансляции п раз, получаем
ф2(х + па) = А пф2{х) + п\п~1фі(х). 4.1. Трансляционная симметрия
77
Отсюда видно, что если к не чисто вещественное число, т.е. если |А| ф 1, то неограниченность функции V;2 (х) определяется множителем А", а если к чисто вещественное число, т.е. если |А| = 1, то неограниченность функции V;2 (х) определяется множителем п.
Таким образом, уравнение Шредингера с периодическим потенциалом ни при каких значениях энергии E не имеет квадратично интегрируемых решений, то есть оператор Гамильтона частицы в периодическом поле не имеет дискретного спектра. Однако уравнение Шредингера имеет ограниченные на всей оси решения ф(х), которые описывают состояния, соответствующие сплошному спектру оператора Гамильтона. Такие решения удовлетворяют уравнению (4.4) с параметром А = ехр(гка) с чисто вещественным к. В этом случае модуль функции 'ф(х) является периодической функцией а; с периодом а. Параметр к принято называть волновым числом.
Рассмотрим два значения волнового числа к, а именно, к\ и кг = ki + 2ж/а. Эти два значения приводят к одному и тому же закону преобразования волновой функции при трансляции, поскольку
_ gi27r g А а _ gifcia
В этом смысле волновые числа ki и /с2 эквивалентны. В качестве неэквивалентных к можно взять числа, заполняющие отрезок вещественной оси длиной 2тт/а. Мы возьмем отрезок, симметричный относительно начала координат, т. е. подчиним к условию
(4.7)
Оказывается удобным включить в интервал обе точки: —ж/а и ж/а, хотя они эквивалентны. Это не приводит к осложнениям, но об их эквивалентности необходимо помнить.
Таким образом, в качестве волновых функций сплошного спектра будем брать функции, удовлетворяющие условию (4.4) с вещественным к из интервала (4.7). Будем приписывать значение волнового числа к как самой функции ф(к,х), так и соответствующей ей энергии Е(к). Тогда условие, которому удовлетворяют волновые функции частицы в периодическом поле, можно записать в виде
7г
--<
а
<
а
ф(к,х + а) = егка-ф(к,х).
(4.8) 78
Глава 4. Частица в периодическом потенциале
Соотношение (4.8) известно как теорема Блоха. Можно предложить альтернативную формулировку теоремы Блоха: волновую функцию 'ф(к, х) можно представить в виде произведения
Функции, которые удовлетворяют теореме Блоха принято называть блоховскими функциями.
Итак, мы получили первый результат: волновые функции, описывающие стационарные состояния частицы в периодическом потенциале, являются блоховскими функциями. Спектр энергии такой частицы не содержит дискретных уровней.
Далее, рассмотрим некоторое значение hi из интервала (4.7), причем выберем ki так, чтобы ki ф 0 и ф ж а. Возьмем, кроме того, второе значение k2 = —ki- Произведение соответствующих параметров Ai и X2 равно единице. Таким образом, здесь реализуется случай (4.6а). Это значит, что состояния с к и —к соответствуют одному и тому же значению энергии. Следовательно, Е(к) есть четная функция к:
Значения к = 0 и к = ж/а соответствуют параметрам А = 1 и А = —1, т.е. эти состояния реализуют случай (4.66). Следовательно, энергиям E(O) и Е(ж/а) соответствует по одному состоянию. Напомним, что состояние с к = —ж/а эквивалентно состоянию с к = ж/а, т. е. из этих двух состоянии используется лишь одно.
