Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 20

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 32 >> Следующая


OO OO

\Ы I2= Jmx + a)\2dx= J №x)\2dx = M2.

Очевидно, что оператор Ta обратный оператору Ta, есть Г_а, так как TaTla = I. Найдем оператор T+, эрмитовски сопряженный с оператором трансляции. Для этого рассмотрим матричный элемент ЬР\ ITa I ^2), где ipi и 'ip2 — две произвольные функции из гильбертова пространства, и преобразуем его:

OO Л OO

ШТаШ = f 4>{{x)Ta'iP2(x)dx = f 4>1{х)'ф2{х + a)dx =

—00 —00

00 /00 \

= f гР1(х - a)^,2(x)dx = f гР*(хШх - a)dx = — 00 V-OO J

Согласно определению оператора, эрмитовски сопряженного с данным, получаем

г+ = f_0 = T-1.

Таким образом, оператор Ta есть унитарный оператор.

Вследствие трансляционной инвариантности потенциала, оператор Гамильтона коммутирует с оператором трансляции

TaH = HTa.

Действительно, операция взятия производной не зависит от выбора начала отсчета:



, + =d^f{x+a)' х'=х+а

dx"

а потенциал коммутирует с оператором трансляции

TaV(x) f(x) = V(x + a)f(x + a) = V(x)Taf(x). 4.1. Трансляционная симметрия

73

Замечание. В дальнейшем мы будем рассматривать не только функции, принадлежащие гильбертову пространству, но и такие решения уравнения Шредингера, которые не интегрируемы с квадратом модуля, т. е. гильбертову пространству не принадлежат. Тем не менее по-прежнему будут использоваться операторные обозначения. Это делается потому, что не интегрируемые с квадратом модуля, но ограниченные на всей оси х функции соответствуют сплошному спектру оператора и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, т. е. такое движение, при котором частица приходит из бесконечности и уходит на бесконечность (см. предпоследний абзац разд. 1.2 «Волновая функция»).

Из коммутации оператора Гамильтона и оператора трансляции следует, что у уравнения Шредингера (4.1) с периодическим потенциалом (4.2) и заданной энергией E существует либо одно решение 'ф(х), либо два линейно независимых решения ipi(x) и ^2(2), каждое из которых удовлетворяет уравнению вида

Таф(х) = Хф(х). (4.4)

Если при заданном потенциале и энергии существует только одно решение, удовлетворяющее уравнению (4.4), то второе решение ф(х), линейно независимое с ф(х), всегда можно выбрать так, что оно будет удовлетворять уравнению

Таф(х) = Хф(х) + ф(х).

Высказанное утверждение известно как теорема Флоке (здесь она приведена для дифференциального уравнения второго порядка). Докажем это утверждение. Фиксируем в уравнении (4.1) значение энергии E и возьмем какую-нибудь фундаментальную систему ipi (х), (/?2 (х) решений уравнения Шредингера

Hyj(X) = EVj(x), J = 1,2. (4.5)

Подействуем на правую и левую части уравнения (4.5) оператором трансляции

Ta HipJ (х) = ETaipj(x), j = 1,2. Пользуясь тем, что Ta и H коммутируют друг с другом, получаем

HTaIpj(X) = ETa<fij(x), j = 1,2. 74

Глава 4. Частица в периодическом потенциале

Следовательно, функции Ta(fj(x) также являются решениями уравнения (4.5), а значит, они могут быть записаны в виде линейной комбинации функций фундаментальной системы

Конкретные значения коэффициентов Sij определяются потенциалом и величиной энергии Е. Воспользуемся теперь тем, что любая матрица может быть приведена к жордановой нормальной форме с помощью преобразования подобия с неособенной матрицей. Напомним, что у матрицы, имеющей вид (нижней) жордановой нормальной формы элементы, расположенные над главной диагональю, равны нулю. Также равны нулю элементы, расположенные под первой поддиагональю. Элемент первой поддиагонали равен нулю, если соседние с ним диагональные элементы различаются. Если эти диагональные элементы совпадают, то поддиагональный элемент может быть равен либо нулю, либо единице. Таким образом, существует неособенная (двухрядная) матрица V, которая приводит двухрядную матрицу S к жордановой форме

Если Ai ф A2, то г/ = 0. Если Ai = A2, то либо g = 0, либо g = 1. Беря в качестве i}>j(x) линейные комбинации функций фундаментальной системы

видим, что могут реализоваться два случая. В первом из них

TaVi=SiiVi + SI2?>2, Taip2~S21<Pl + S22Ip2.

^jW = Vji Vi fr) + Vj2 <p2(x), j = 1,2,

Vi (x + a) = Ai Vi fr), ip2(x + a) = X2 ip2(x),

(4.6a)

причем Ai и A2 могут оказаться совпадающими. Во втором случае 4.1. Трансляционная симметрия

75

гр1(х + а) = Хф1(х),

(4.66)

ф2(х + а) = Хф2(х) + ipi (х).

В качестве примера, показывающего, что вариант (4.66) может реализоваться, рассмотрим случай пустой решетки и нулевой энергии. Потенциал V (х) = 0 можно рассматривать как периодический с периодом а, поскольку в этом случае при любых х имеет место равенство V(x + a) = V(x). Полагая E = 0, приводим уравнение Шредингера с нулевым потенциалом к виду

Л2 & ,, . „

¦ф(х) = 0.

2то dx2

Линейно независимыми решениями этого уравнения являются функции

Ip1(X) = 1, ф2(х) = -X,

a

которые преобразуются при трансляции, согласно формуле (4.66), с A = I.

Далее, оказывается, что величины Ai, X2 в случае (4.6а) и величина А в случае (4.66) должны удовлетворять некоторым условиям. Действительно, определитель Вронского W, вычисленный с линейно независимыми решениями уравнения Шредингера (4.1), отличен от нуля и не зависит от х. В то же время, вычисляя определитель Вронского с функциями Xp1(X) и Tp2 (х), получаем
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed