Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Абаренков И.В. -> "Простейшие модели в квантовой механике" -> 18

Простейшие модели в квантовой механике - Абаренков И.В.

Абаренков И.В., Загуляев С.В. Простейшие модели в квантовой механике — Питер, 2004. — 128 c.
ISBN 5-288-03469-9
Скачать (прямая ссылка): prosteyshiemodelivkvantovoymehan2004.djvu
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 32 >> Следующая


Q = ^Vc

Однако полезно рассмотреть эту задачу по-другому (получив, конечно, те же самые результаты). Будем искать решение не в виде бегущих волн (падающей, прошедшей и отраженной), а в виде четного ip+ и нечетного ip- решения (аналогично тому, как это было сделано в разд. 2.2). При этом мы выберем общий множитель так, 3.2. Энергия ниже высоты барьера

63

чтобы амплитуды решений в областях I и III были равны единице. Запишем такие решения с помощью тригонометрических и гиперболических функций:

cos(kx — т]+), X Є I,

= <

1р-(х) = <

A ch ax,

X Є II,

cos(kx + i]+), X Є III, — cos(кх — rj-), X Є I,

(3.3)

Bsh ax,

X Є II,

cos(kx + rj-), X Є III.

Условия сшивания (3.1) теперь можно рассматривать только в одной точке, например а, во второй точке (—а) условия сшивания будут выполнены автоматически благодаря симметрии. Для четных решений (3.3) мы получаем систему уравнений

A chaa = cos(ка + г]+), аА shaa = — ksin(ka + ?+).

Деля обе части второго уравнения на к, возводя почленно каждое уравнение в квадрат и складывая, приходим к уравнению

v2

A2 ^ch2 аа + ~ sh2 aaj = 1,

где, согласно формулам (3.2), коэффициент при гиперболическом синусе связан с энергией E:

- 1.

Q^ = Vb к2 E

С учетом этого равенства, выражение для амплитуды А запишется в виде

1

А =

\а + ish2aa

где по-прежнему берется арифметическое значение корня, А > 0. (Это уравнение можно получить из уравнения (2.13), если в последнем совершить замену Vo —> -Vq- Тогда х —> ia, и sin ха —»г shaa.) 64

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

Деля почленно второе уравнение системы на первое, находим уравнение для фазы

. a sh аа

tE(ka + V+) = ,

откуда фазу т]+ можно выразить элементарно.

Аналогично для нечетного решения (3.3) можно написать свою систему уравнений:

В sh аа = cos(ka + Ч-) > aB chaa = —ksm(ka + rj-).

Отсюда

В =

Vo 2 — ch аа-E

. a ch аа

tg (to + ,.) = -J^-.

Таким способом можно найти четное и нечетное решения для любой энергии, не превышающей высоту потенциального барьера.

<ф- Ip+

Рис. 18. Четное и нечетное решения для малой энергии (E = 0.2 Vo).

В качестве примера на рис. 18 показаны графики четного (толстая линия) и нечетного (тонкая линия) решений для барьера с параметром Q = 0.5 и для энергии частицы E = 0.2 Vo- Вертикальные пунктирные линии соответствуют границам барьера. 3.2. Энергия ниже высоты барьера

65

Найденные четное и нечетное решения являются линейно неза-исимыми, т.е. они образуют фундаментальную систему, и общее решение чр (х) уравнения Шредингера для данной энергии E можно представить в виде линейной комбинации четного и нечетного решений:

Для анализа туннельного эффекта, надбарьерного отражения и резонансов удобно использовать коэффициенты прохождения T (2.13) и отражения R (2.12). Однако последние были введены в разд. 2.2 с использованием базиса бегущих волн (падающей, прошедшей и отраженной). Покажем как R и T можно получить с помощью четного ip+{x) и нечетного чр-(х) решений. Для этого выразим косинусы через экспоненты, представим функцию чр{х) в областях I и III в виде

¦ф (х) = С+гр+{х) + С-ф-{х).

F1Cikx + G1 е~ікх, ж Є I, Fzelkx + Gz e~ikx, x Є III,

где

F1= -С-е-^-),

G1=--(С+е^ - С- eiv~), F3= \{С+егг>+ G3 = -^(C+e-">+ + С-е-*4-).

Если положить Fi = 1 и G3 = 0, т. е., если

С+ e~t7>+ - С_ e~ir>- = 2, С+ e~lT>+ + С_ е"1"- = О,

мы получим волновую функцию, описывающую процесс рассеяния частиц, налетающих на барьер слева. При этом |F3|2 задает коэффициент прохождения, a |Gi|2 — коэффициент отражения. Система 66

Глава 3. Прямоугольный потенциальный барьер

уравнений относительно коэффициентов С+ и С_ легко решается и дает

С+ = е">+, CL = -е*»-. Таким образом, получаем

G1 = -і (e2'"+ + е2г"-), F3 = і (е2 "+ - е2г"").

Представляя фазы і]+ и в виде

2^+ = (»7+ + *7-) + (П+ - її-), 2*7- = (»7+ +»?-) - (J?+ -J?-), преобразуем выражения для коэффициентов Gi и F3 к виду

Gi = cos(j;+ -1;.), F3 = іе^ч++ч-) sin(j;+ -11-).

Вычислим сначала sin(j;+ -J?-). Обозначая

(р+ = ka + i]+, (р_ = ка + г]-и используя условия сшивания, находим

sin(j?_|_ — 7]-) = sin(</3+ — tp-) = sin (р+ cos </з_ — cos </з+ sin =

= sh2 aa + ch2 aa) = % AB.

к к

Используя выражения для А и В, получаем коэффициент прохождения

1

T = |F3| = г

+ P где

2

Sh2 (2аа).



4E{V0 - Е)

Преобразуя аналогично cos(j;+ -j?-), получаем коэффициент отражения

R = IGiI2 =

2 P

1 + P 3.2. Энергия ниже высоты барьера

67

Эти выражения для ThR можно получить из формул для коэффициентов прохождения и отражения частицы, налетающей на прямоугольную потенциальную яму, если в последних заменить Vo на -Vo-

Проанализируем зависимость от энергии коэффициентов отражения и прохождения, которая определяется величиной р. Мы видим, что для тех энергий, которые больше нуля, но не превосходят высоты потенциального барьера, р не обращается в нуль и при увеличении энергии монотонно убывает. При E стремящемся к нулю р стремится к бесконечности из-за множителя Е, стоящего в знаменателе. Следовательно, при уменьшении энергии коэффициент отражения возрастает и стремится к единице, а коэффициент прохождения убывает и стремится к нулю. При возрастании энергии р монотонно убывает. При стремлении E к Vo возникает неопределенность, раскрывая которую находим, что р стремится к конечному пределу, равному Q. Таким образом, при увеличении энергии коэффициент отражения монотонно убывает, а коэффициент прохождения монотонно возрастает. Кроме коэффициентов отражения и прохождения полезно рассмотреть и саму волновую функцию. На рис. 19 для барьера с Q = 0.5 и для энергии E = 0.2 Vo (тот же вариант, что и на рис. 18) показана вещественная часть волновой функции ip(x) (тонкая сплошная линия), мнимая часть волновой функции (точечная линия) и модуль функции (жирная сплошная линия).
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 32 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed