Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Форма кривых Гаусса представлена на рис. 6 для трех значений о. G помощью этой кривой можно установить, насколько часто должны появляться ошибки той или иной величины. Формула Гаусса подвергалась неоднократным экспериментальным проверкам, которые показали, что по крайней мере в той области, где ошибки измерений не слишком велики, она находится в отличном согласии с экспериментом. Для иллюстрации приведем табл. 2, в которой представлены результаты обработки погрешностей суммы углов треугольника, измерявшихся при производстве геодезической съемки. Как видим,
31
Совпадение наблюденного и рассчитанного чисел ошибок очень хорошее.
Наряду с нормальным законом распределения ошибок иногда встречаются и другие типы распределения. Так, например, возможен случай, когда равновероятно появление ошибки любой величины внутри некоторого интервала, а за его пределами вероятность появления ошибок
равна нулю.
Примером такого распределения служит, скажем, измерение веса с помощью точных весов и разновеса, не имеющего мелких гирь. Если у нас самая мелкая гирька 0.1 г и мы убедились, что вес тела больше 1.2 г, но меньше 1.3 г, то все значения внутри этого интег> вала нужно считать равновероятными. ?ис 6. Кривые Гаусса. для такогр распределе-
ния наиболее вероятным значением измеряемой величины служит также среднее арифметическое.
В практике измерений иногда оказывается, что по нор* мальному закону распределены не результаты измерений, а их логарифмы. В этом случае за наиболее вероятное значение логарифма измеряемой величины нужно принять среднее арифметическое из логарифмов всех наблюденных значений:
г— *i + 1S хг + - • • + Ig г*
lg X ж- .
0 П
Отсюда следует, что наиболее вероятное значение измеряемой величины X будет среднее геометрическое из наблюденных значений:
Ъ = У хл • Xc1 хп.
Дискретные случайные величины часто распределены по так называемому закону Пуассона
32
Здесь е&2.71 — основание натуральных логарифмов. Имеют место и другие типы распределений.
Особое значение нормального распределения определяется следующим обстоятельством: в тех частых случаях, когда суммарная ошибка появляется в результате совместного действия ряда причин, каждая из которых вносит малую долю в общую ошибку, по какому бы закону ни были распределены ошибки, вызываемые каждой из причин, результат их суммарного действия приведет к гауссовскому распределению ошибок. Эта закономерность является следствием так называемой центральной предельной теоремы Ляпунова.
Основным условием ее применимости является отсутствие' отдельных источников доминирующих ошибок.
В ряде случаев экспериментатору приходится выяснять возможность применения нормального распределения и иногда заменять его другим, более подходящим. Детальнее касаться этого-вопроса мы не имеем возможности.
Все дальнейшие расчеты сделаны для случая нормального распределения.
Для оценки величины случайной ошибки измерения: существует несколько способов. Наиболее распростра-
Распределение погрешностей при измерении суммы углов треугольника
(Общее число наблюдений 470; средняя квадратичная ошибка а~0.40")
Таблица 2
Пределы погрешностей (")
Число наблюдений с данной погрешностью
наблюденное в опыте
вычисленное по формуле Гаусса
0.0-0.1 0.1-0.2 0.2-0.3 0.3-0.4 0.4-0.5 0.5-0.6 0.6-0.7 0.7-0.8 0.8-0.9 0.9-1
Более 1
94 88 78 58 51 36 26 14 9 7 9
92.3 86.5 76.7 64.0 49.8 36.7 25.4 16.9 9
6.1 1.1
3 A. H. Зайдель
33
йена оценка с помощью* стандартной или средней квадратичной ошибки (ее часто называют сокращенно стандартом измерений). Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.
Средней квадратичной ошибкой называется величина
Если число наблюдений очень велико, то подвержен-шая случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению о, которое можно назвать ^статистическим пределом sw,
Собственно говоря, именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Квадрат этой величины называется дисперсией измерений. Это та же величина, которая входит в формулу Гаусса (9). В действительности, однако, мы всегда вычисляем не величину о, а ее приближенное значение sn, которое тем ближе к о, чем больше Tl*
Относительная величина средней квадратичной ошибки w, выраженная в процентах, носит название коэффициента вариации
Средняя арифметическая ошибка гп вычисляется по формуле
Обозначение |#—х{\ выражает, что при подсчете же разности считаются положительными, без учета uz действительного знака; иначе говоря, суммируются абсолютные значения величин (х—х{).
Точно так же, как и для средней квадратичной ошибки, истинное значение средней арифметической ошибки р определяется соотношением
p = limrn. (14)
Обозначим истинное значение измеряемой величины через х, а погрешность измерения этой величины — Ах. Среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений, — х. Пусть а означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем Ах. Это принято записывать в виде
р (~_Дя < X — X < Ax) = а, (15)
