Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Приблизительно такова должна быть вероятность оказаться жертвой транспортной катастрофы, выйдя на улицу большого города, но никто из-за этого не боится выходить из дома.
Таблица 1
Вероятности лотерейных выигрышей
(Вероятность вьіигрьшіа п билетов из имеющихся 50, если вероятность выигрыша для одного билета составляет 0.1)
rt Р(п)
0 0.0051
1 0.0290
2 0.0779
3 0.1387
4 0.1809
5 0.1850
6 0.1541
7 0.1077
8 0.0643
9 0.0334
10 0.0191
P(O)+P(I)+.. . + P(IO) 0.9913
Р(11)+Я(12)+. .. + Р(50) 0.0087
г»
2. Вероятностные оценки ошибок
При измерениях физических величин в тех случаях, когда основную роль играют случайные ошибки, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью. Действительно, случайные ошибки образуются в результате совокупности ряда мелких неучитываемых причин, каждая из которых вносит незначительный вклад в общую ошибку. Следует считать, что часть из этих ошибок положительна, часть — отрицательна. Общая ошибка, которая образуется в результате сложения таких элементарных ошибок, может иметь различные значения, но каждому из них будет соответствовать, вообще говоря, разная вероятность.
Поясним сказанное следующим рассуждением. Допустим, нам нужно взвесить сотню образцов, для взвешивания которых мы располагаем весами, позволяющими определить вес с погрешностью 0.05 г (например, вследствие того, что самая мелкая гиря, употребляемая при взвешивании, — 0.1 г). Предельная нагрузка, допускаемая весами, не позволяет класть на чашку более одного взвешиваемого образца. Спрашивается, какую ошибку мы можем допустить при определении суммарного веса всех 100 предметов?
Мы знаем, что при каждом взвешивании ошибка может быть как положителяной, так и отрицательной, не превышая в обоих случаях 0.05 г. Естественно считать, что мы будем ошибаться одинаково часто как в сторону завышения, так и в сторону занижения веса, т. е. мы можем положить вероятность получить ошибку +0-05, равной вероятности получения ошибки —0.05. Тогда P (+0.05) = = P (-0.05) = 1/2.
При этом мы считаем, что все отдельные ошибки отличаются только знаком и имеют по абсолютной величине максимальное возможное значение 0.05. Такое допущение только завысит общую ошибку результата, что для нас сейчас несущественно. Пусть при измерении первого образца мы сделали ошибку, равную +0.05, вероятность чего, как мы сказали, равна 1/2. Вероятность того, что
29
и при измерении второго образца мы сделаем снова положительную ошибку, будет в соответствии с известным нам правилом умножения вероятностей равна (1/2)2, т. е. 1/4. Наконец, вероятность при всех 100 измерениях сделать ошибку одного и того же знака будет (0.5)100, т. е. число, имеющее 30 нулей после запятой! Такая вероятность с любой практической точки зрения равна нулю. Таким образом, мы пришли к заключению, что можно сделать ошибку в общем весе в 5 г (0.05-100), но вероятность такой ошибки незначимо мало превышает нуль, т. е., иначе говоря, действительная ошибка при таком способе взвешивания будет практически меньше 5 г. Мы выбрали наиболее неблагоприятный случай — ошибка каждого взвешивания имеет наибольшее значение, и все они оказались одного знака. Теория вероятностей дает возможность подсчитать, какова будет вероятность для других величин ошибок. Для этого введем сперва понятие средней квадратичной и средней арифметической ошибок,
3. Средняя квадратичная и средняя арифметическая ошибки. Коэффициент вариации
Для того чтобы выявить случайную ошибку измерений, необходимо повторить измерение несколько раз. Если каждое измерение дает несколько отличные от других измерений результаты, мы имеем дело с ситуацией, когда случайная ошибка играет существенную роль.
За наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое значение, вычисленное из всего ряда измеренных значений.8
в Это справедливо, когда выполняется так называемый нормальный закон распределения ошибок. Однако для подавляющего большинства простых измерений он выполняется достаточно хорошо.
30
Пока мы не будем задаваться вопросом о том, сколько измерений нужно проделать. Допустим, что сделано N измерений. Разумеется, все они проделаны одним и тем же методом и с одинаковой степенью тщательности. Такие измерения называются равноточными.
Нормальный закон распределения ошибок — знаменитая формула Гаусса — может быть выведен из следующих предположений.
1. Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений.
2. При большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.
3. Частота появления ошибок уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.
Эти довольно естественные предположения приводят к закону распределения ошибок, описываемому следующей функцией:
где а2 — дисперсия измерений (см. ниже), в — основание натуральных логарифмов.
Правда, нужно отметить, что при выводе формулы Гаусса делается ряд дооущений, которые не удается достаточно строго обосновать, кроме того, и условия (1—3), в предположении которых она выводилась, никогда не выполняются совершенно строго. Это, например, следует хотя бы из того, что ошибки никогда не могут быть как угодно малыми. Скажем, при измерении длины ограничением всегда являются атомные размеры (^10 8 см), при изменении электрического заряда — величина заряда электрона (4.8 10~10 CGSE), и т. д.
