Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В тех случаях, когда измеряются какие-то свойства готовой продукции — диаметр подшипника, состав металла, и т. п., —задача измерений обычно состоит не в получении точного значения измеряемой величины, а в необходимости уложиться в определенные допуски, установленные для данной продукции. Те изделия, которые не укладываются в эти допуски будем называть браком. Но следствием ошибок измерений могут быть два обстоятельства: 1) хорошее изделие бракуется и 2) брак пропускается Поясним это примером: диаметр вала равен 60 мм с допуском 0.013 мм. При измерении дцаметра мы получили число 60.012 мм Ошибка нашего измерительного устройства 0.02 мм Очевидно, мы признаем вал годным, хотя на самом деле он мог иметь диаметр 60.014 мм, т. е. должен считаться браком. В :лом случае мы совершили ошибку второго рода. Наобо-
Il
рот, если при той же точности измерений оказалось, что диаметр вала 60.014 мм, то мы его забракуем, хотя в действительности его размеры могут находиться внутри допуска (скажем, составлять 60.012 мм). В этом случае сделана ошибка первого рода Очевидно, что когда размеры изделия находятся вблизи границ допуска, всегда есть вероятность сделать ошибку первого или второго рода. Казалось бы, что наиболее страшна ошибка второго рода — пропуск брака. Это действительно так, когда мы имеем дело с очень дорогими и ответственными изделиями. В этом случае иногда лучше забраковать 100 хороших изделий, чем пропустить одно бракованное Однако для менее ответственных изделий чересчур жесткий контроль, необходимый для полного отсутствия ошибок второго рода, нецелесообразен. Действительно, чем вернее хотим мы застраховать себя от ошибок второго рода, тем больше (при неизменной точности измерений) делаем ошибок первого рода. Разумеется, невыгодно и нецелесообразно переводить в брак сотню хороших шариковых ручек, чтобы не пропустить в партии одной плохой. Такой излишне строгий контроль будет без необходимости увеличивать стоимость изделий. Выбор экономически целесообразной системы измерений и браковки является во всех случаях чрезвычайно важным.
II. Необходимые
сведения
по теории
вероятностей
и случайных
ошибок
I. Вероятность случайного события
Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Приведем примеры некоторых неслучайных и случайных событий. Момент начала и конца солнечного затмения может быть точно вычислен, и, таким образом, это событие неслучайное. Также неслучайно время прихода поезда на станцию, так как поезд движется по расписанию. Однако момент прихода такси на стоянку уже относится к случайным событиям, так как такси не обязано в определенное время заезжать на стоянку.
Более внимательное рассмотрение показывает, что разница между указанными двумя классами событий не всегда может быть совершенно четко указана.
Действительно, время прихода поезда на станцию указывается в часах и минутах. И не случайно «Красная стрела» прибывает в Москву в 8 ч. 20 м.
Но если более точно проследить за остановкой поезда, то мы сразу же убедимся, что каждый день это происходит в разные моменты: сегодня, например, в 8 ч. 19 м. 33 с, вчера — в 8 ч. 20 м. 2 с, и т. д. Поэтому время прихода «Стрелы», измеренное с точностью до секунды, — событие случайное. То же время, измеренное с точностью до минуты, — событие закономерное. Точно так же и момент солнечного затмения. Он вычислен на основании за-
24
конов движения тел Солнечной системы, известных с некоторой точностью. Она и задает точность определевия времени начала и конца затмения.
В этом смысле затмение не относится к случайным событиям. Однако в пределах интервала времени, меньшего, чем тот, который может быть получен на основании наших знаний о движении Земли и Луны, момент наступления затмения должен рассматриваться как случайный.
Для простоты мы сейчас рассмотрим наиболее характерный пример случайного события. Допустим, у нас имеется урна, про которую известно, что в ней содержатся одинаковые по весу и размеру шары двух цветов — черные и белые. Так'как шары ничем, кроме цвета, не отличаются, то, если не смотреть в урну, мы не знаем, какой шар будет вытащен. Возьмем из урны шар, отметим его цвет и опустим его назад в урну. После перемешивания повторим эту* операцию снова и снова некоторое, достаточно большое число раз.
Если в урне п белых и п черных шаров, то в среднем мы должны вытащить их примерно одинаковое число. Иначе это можно выразить так: всего в урне 2п шаров, из них п — белых. Отношение числа белых шаров к общему числу шаров в урне носит название вероятности появления белого шара. В данном случае эта вероятность будет п/2п — 1/2. Очевидно, такова же будет вероятность появления черного шара. Если число шаров неодинаково — допустим, белых в два раза больше, чем черных, — то легко сообразить, что вероятность вытянуть белый шар будет 2/3, а черный — 1/3. Очевидно /что если, кроме белых и черных, урна других шаров не содержит, то вероятность вытянуть белый или черный шар равна 1 (1/2+1/2 в первом случае, 2/3+1/3 — во втором).
