Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Будем называть появление интересующего нас события (например, появление белого шара) благоприятным событием,* а появление другого события — неблагоприятным. Если возможны только два типа событий, то вероятностью благоприятного события называется отношение
а Термин «благоприятное событие» неудачен. Например, если мы вычисляем вероятность смертности от какой-либо причины, то случай смерти придется относить к числу «благоприятных» событий. Однако такая терминология арочно укрепилась в теории вероятностей, и мы будем ее придерживаться, памятуя эту оговорку.
25
возможного числа всех благоприятных событий к полному числу событий, которое включает в себя как число благоприятных событий (п), так и число неблагоприятных событий (т).
Записывается это так:
P (п) = —7—. (5)
Точно так же вероятность неблагоприятного события будет
Из формул (5) и (6) легко получить
п т
PIm) + P (п) = —j— +-:— а 1. (7)
v ' 1 v ' т + п 1 т + п w
Мы можем вычислить вероятности, наших событий лишь в том случае, когда знаем, сколько событий какого типа возможны. В приведенном примере с урной нам нужно знать число содержащихся в ней белых (т) и число черных (п) шаров. Часто мы этого не знаем и решаем обратную задачу — по частоте появлений белых и черных шаров в описанном выше опыте нужно определить вероятность появления того или другого шара. Пусть мы проделали N испытаний, т. е. N раз доставали шары из урны; из этого числа мы К раз вытащили белый шар, тогда KIN называется частотой появления белого шара. Основной закон теории вероятностей — закон больших чисел — утверждает, что при достаточно большом числе наблюдений N частота появления события как угодно мало отличается от вероятности этого события, иначе
говоря, если P (т) = т ^ п (причем тип нам неизвестны),
то всегда можно выбрать достаточно большое N, чтобы выполнялось соотношение
|^)~ilr|<e' <8)
где е — как угодно малое положительное число, отличное от нуля.
Это соотношение дает возможность устанавливать опытным путем с достаточно хорошим приближением вероятность неизвестного нам случайного события.
26
Таким образом, в отличие от неслучайных событий, о которых нам может быть точно известно, появятся они или не появятся, мы никогда не можем сказать этого о событии случайном. Частота появления такого события определяется его вероятностью. Однако вероятностная оценка может быть достаточно надежной, и мы можем опираться на нее даже при предсказании самых важных для нас событий часто не хуже, чем тогда, когда мы имеем дело с достоверными сведениями о событиях.
Допустим, например, что есть один билет в лотерее, где на каждые 10 билетов приходится один выигрыш. Вероятность выигрыша для каждого билета составляет 0.1, а вероятность того, что он не выиграет, соответственно 0.9.
Естественно, что владелец этого билета не будет осо-бенно удивлен ни выигрышем, ни проигрышем. Допустим, однако, что у него есть 50 таких билетов. Какова вероятность того, что он получит хотя бы один выигрыш? В теории вероятностей доказывается, что вероятность того, что совместно произойдут несколько событий, случающихся независимо друг от друга, равна произведению вероятностей каждого из них. В данном случае вероятность того, что не выиграет первый из имеющихся 50 билетов, равна 0.9, вероятность того, что не выиграет второй из них, — также 0.9.6 Тогда вероятность того, что не выиграет ни первый, ни второй, будет 0.9.0.9= =г0.92=0.81, точно так же вероятность того, что не выиграют ни первый, ни второй, ни третий билеты, — 0.93, а вероятность, что ни одному из 50 билетов не выиграть, — 0.950, т. е. приблизительно 0.005.
С другой стороны, вероятность того, что выиграют все 50 билетов, будет еще гораздо меньше — (0.1)50. Это означает, что и тот и другой случай практически никогда не осуществляются. Скорее всего из 50 выиграют 5 билетов, но выигрыш 4 или 6 билетов будет также довольно вероятен. Менее вероятен будет выигрыш 3 или 7—8 билетов. Теория вероятностей дает возможность
6 В действительности для второго билета вероятность ве выиграть несколько больше, так как всего играющих билетов* осталось меньше на один билет — аервый, который нами уже* учтен как невыигравший. Но ари большом числе лотерейных билетов — это деталь, на которую можно сейчас не обращать внимания.
27
подсчитать вероятность каждого из этих событий, однако метод подсчета довольно сложен, поэтому мы его здесь не приводим, ограничиваясь представлением результатов, сведенных в табл. 1.
Естественно, что сумма всех приведенных в этой таблице вероятностей равна 1, так как никаких иных событий, кроме тех, которые представлены в таблице, произойти не может. Такая система событий называется полной.
Резонно поставить вопрос, какая должна быть вероятность события, чтобы его наступление можно было считать достоверным. Разумеется, ответ на этот вопрос носит в значительной мере субъективный характер и зависит главным образом от степени важности ожидаемого со бытия. Поясним это двумя примерами: известно, что около 5% назначенных концертов отменяется. Не смотря на это, мы все же, взяв билет, обычно идем на концерт, будучи в общем уверены, что он состоится, хотя вероятность этого всего 0.95. Однако, если бы в 5% полетов терпели аварию пассажирские самолеты, вряд ли мы стали бы пользоваться воздушным транспортом. Для того чтобы в условиях мирного времени без особой необходимости рисковать жизнью, по-видимому, нужно, чтобы вероятность неблагоприятного исхода была бы не более 0.0001. Впрочем, различные люди, конечно, по-разному отнесутся к риску, но и самые осторожные легко пойдут на него при вероятности неблагоприятного исхода 10"6 или 10"7.
