Элементарные оценки ошибок измерений. - Зайдель А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
В этом случае результаты измерений все же несв(< бодны от случайных ошибок, правила вычисления кото рых даны ниже Если случайная ошибка окажется меньше
2*
19
систематической, то очевидно, что нет смысла пытаться еще уменьшить величину случайной ошибки — все равно результаты измерений не станут от этого заметно точнее, и, желая получить большую точность, нужно искать пути к уменьшению систематической ошибки. Наоборот, если случайная ошибка больше систематической, то именно случайную ошибку нужно уменьшать в первую очередь.
Мы уже говорили, что если произвести ряд измерений и взять среднее арифметическое из этого ряда, то случайная ошибка этого среднего будет меньше, чем ошибка единичного измерения. Поэтому для уменьшения случайной ошибки следует произвести не одно, а ряд измерений, причем, как мы увидим дальше, тем больший, чем меньшую величину случайной ошибки мы хотим получить. Однако очевидно, что нет смысла производить измерений больше, чем это необходимо, чтобы систематическая ошибка существенно превышала случайную.
Отсюда вытекают правила, которые будут далее сформулированы более точно.
1. Если систематическая ошибка является определяющей, т. е. ее величина существенно больше величини случайной ошибки, присущей данному методу, то достаточно выполнять измерение один раз.
2. Если случайная ошибка является определяющей, то измерение следует производить несколько раз. Число измерений целесообразно выбирать таким, чтобы случайная ошибка среднего арифметического была меньше систематической ошибки, с тем чтобы последняя опять определяла окончательную ошибку результата.
Однако следует иметь в виду, что мы можем ограничиться одним измерением лишь в тех случаях, когда из каких-то других источников нам известно, что величина случайной ошибки меньше, чем систематической.
Это имеет место обычно тогда, когда измерения про водятся известным методом, ошибки которого в какой-то степени изучены. Так, например, если измерить длину карандаша с помощью измерительной линейки с погрешностью делений в 1 мм, то можно быть уверенным, что случайная ошибка много меньше 1 мм, и следует ограничиться одним измерением. Точно так же мы знаем, что случайная погрешность взвешивания на обычных торговых весах меньше 5 г, в то время как цена деления шкалы таких весов 5 г и присущая им систематическая ошибка
20
близка к этой величине. Следовательно, следует взвешивать на таких весах не более одного раза, что обычно и делается. Наоборот, при взвешивании на некоторых моделях точных лабораторных весов случайная ошибка взвешивания больше систематической, и для повышения точности часто проводят несколько взвешиваний.
Таким образом, необходимое число измерений определяется в конечном итоге соотношением величины систематической и случайной ошибок. Количественное уточнение правила 2 будет приведено дальше» после того как мы познакомимся с элементами теории вероятностей, знание которых нужно для оценок величин случайных ошибок.
6. Связь систематической и случайной ошибок
Мы уже указывали, что можно перевести систематическую ошибку в случайную, организовав измерения таким образом, что постоянный фактор, влияющий на результат измерений, в каждом из них действует разным образом, а следовательно, результат его действия носи г случайный характер (стр. 19).
длит прием превращения систематической ошибки в случайную называется рандомизацией. Он позволяет практически исключить многие неизвестные систематические ошибки.
Дадим два примера такого исключения систематических ошибок.
Если мы для определения урожайности поля соберем урожай с какого-либо его участка, а затем помножим результат на отношение площадей поля и контрольного участка, то полученный таким образом общий урожай может быть искажен систематической ошибкой, связанной, скажем, с тем, что плодородность почвы на поле меняется от одного его края к другому Чтобы этого избежать, можно разбить поле на ряд малых квадратов одинаковой площади, перенумеровать их и отобрать для измерения ряд участков случайным образом, например записав но-
2)
мера участков на бумажках и вытягивая их как лотерейные билеты
Таким образом мы переведем систематическую ошибку, обусловленную различием в урожайности разных частей поля, в случайную.
Другой пример: измеряется удлинение стержня под действием растяжения. Если мы знаем изменение длины и упругих свойств стержня в зависимости от температуры, то, делая измерения при разных температурах, мы можем вносить соответствующую поправку. Однако вместо этого можно, не зная зависимости свойств стержня от температуры, произвести ряд измерений растяжения при разных случайно выбранных температурах.
Ошибка, происходящая вследствие изменения температуры, будет случайной, а конечный результат — соответствовать удлинению стержня при средней температуре.
Разумеется, такого рода исключение систематических ошибок практически далеко не всегда возможно. Поэтому разделение всех ошибок на систематические и случайные оказывается целесообразным.
7. Ошибки первого и второго рода
