Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 5. Найти неразложимое в GF (3) уравнение для примитивного корня восьмой степени из единицы из поля GF (2), а также неразложимое уравнение для примитивного корня седьмой степени из единицы из поля GF (8).
Задача 6. Для любых р и т существуют целочисленные многочлены / (х) т-й степени, неразложимые по модулю р. Все они являются по модулю р делителями многочлена хРт— х.
Одно интересное свойство полей Галуа установил Шевалле (Cheval-ley С.).—Abh. math. Sem. Hamburg, 1935, 11, S. 73.
§ 44. Сепарабельные и несепарабельные расширения
Пусть снова А — поле.
Выясним, может ли неразложимый в А [я] многочлен обладать кратными корнями?
Для того чтобы f(x) обладал кратными корнями, многочлены f (X) и f' (х) должны иметь общий отличный от константы множитель, который согласно § 41 можно вычислить уже в А [л:]. Если многочлен f (х) неразложим, то ни с каким многочленом меньшей степени f (х) не может иметь непостоянных общих множителей, следовательно, должно иметь место равенство /' (х) = 0.
Положим
/ (*) = i] avxv,
0 п
г (х) = 2] vflvtA-1.
1
Так как /' (х) = 0, в нуль должен обращаться каждый коэффициент:
vav = 0 (v = 1, 2, ..., п).
В случае характеристики нуль отсюда следует, что av = 0 для всех v Ф 0. Следовательно, непостоянный многочлен не может иметь кратных корней. В случае же характеристики р равенства vav = 0 возможны и для av Ф 0, но тогда обязаны выполняться сравнения
vs=0(p).
160 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ VI
Таким образом, чтобы многочлен f(x) обладал кратными корнями, все его слагаемые должны обращаться в нуль, за исключением тех avxv, для которых v = 0 (р), т. е. f{x) должен иметь вид
/ (х) = а0 + ар:ср + а2рх2р + ...
Обратно: если / (л:) имеет такой вид, то /' (х) = 0.
В этом случае мы можем записать:
/(%) = ц>(хр).
Тем самым доказано утверждение: В случае характеристики нуль неразложимый в Д [х] многочлен f (х) имеет только простые корни; в случае же характеристики р многочлен f{x) (если он отличен otn константы) имеет кратные корни тогда и только тогда, когда его можно представить как многочлен ф от хр.
В последнем случае может оказаться, что ф (х) в свою очередь является многочленом от хр. Тогда f (х) является многочленом от хр2. Пусть f (х) — многочлен от хре\
f (х) = 1р {хрв),
но не является многочленом от хре+х. Разумеется, многочлен 1)5 (у) неразложим. Далее, 1р' (у) Ф 0, потому что иначе i|; (у) имел бы вид %(ур) и, следовательно, f (х) представлялся бы в виде %{хре+'), ЧТО противоречит предположению. Следовательно, 1)5 (у) имеет только простые корни.
Разложим многочлен i|)(i/) в некотором расширении основного поля на линейные множители:
т
т (у) = П (у- Р<)-1
Тогда
т
f w=П (хР' - Р')-
1
Пусть щ — какой-нибудь корень многочлена хрв — Тогда
ор* = Р,
хр“ — Р(. = хрР — af6 ={х~ а(.)р6.
Следовательно, щ является рр-кратным корнем многочлена х”е — и
т
f W = 11 {х ~ a i)pe-1
Все корни многочлена / (х) имеют, таким образом, одну и ту оке кратность ре.
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
161
Степень т многочлена г|э называется редуцированной степенью многочлена f (х) (или корня аг); число е называется показателем многочлена f (х) (или корня at) над полем Д. Между степенью, редуцированной степенью и показателем имеет место соотношение
п = тре,
где т равно числу различных корней многочлена / (х).
Если 0 — корень неразложимого в кольце Д [х] многочлена, обладающего лишь простыми корнями, то 0 называется сепарабельным элементом над Д или элементом первого рода над Д1). При этом неразложимый многочлен, все корни которого сепарабельны, называется сепарабельным. В противном случае алгебраический элемент 0 и неразложимый многочлен / (х) называются несепарабельными или элементом (соответственно, многочленом) второго рода. Наконец, алгебраическое расширение 2, все элементы которого сепарабельны над Д, называется сепарабельным над Д, а любое другое алгебраическое расширение называется несепарабельным.
В случае характеристики нуль согласно сказанному выше каждый неразложимый многочлен (а потому и каждое алгебраическое расширение) является сепарабельным. Позднее мы увидим, что большинство наиболее важных и интересных расширений полей сепарабельны и что существуют целые классы полей, вообще не имеющих несепарабельных расширений (так называемые «совершенные поля»). По этой причине в дальнейшем все связанное специально с несепарабельными расширениями набрано мелким шрифтом.
Рассмотрим теперь алгебраическое расширение 2 = Д (0). Когда степень п уравнения f(x) = 0, определяющего это расширение, равна степени (2 : Д), редуцированная степень т оказывается равной числу изоморфизмов поля 2 в следующем смысле: рассмотрим лишь такие изоморфизмы 2^2', при которых элементы подполя Д остаются неподвижными и, следовательно, 2 переводится в эквивалентное поле 2' (изоморфизмы поля 2 над полем Д) и при которых поле-образ 2' лежит вместе с полем 2 внутри некоторого общего для них поля П. В этих условиях имеет место теорема:
При подходящем выборе поля й расширение 2 = Д (0) имеет ровно т изоморфизмов над А и при любом выборе поля й поле 2 не может иметь более т таких изоморфизмов.
