Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Д(ах, ..., а„),
146
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
в которых многочлен / (х) из кольца А [х] полностью разлагается на линейные множители х):
/ (х) = (х - <хх)... (х — ап)
и которые получаются присоединением к А корней а; этих линейных функций. О таких полях доказываются следующие теоремы: Для каждого многочлена f (х) кольца А [х] существует некоторое поле разложения.
Доказательство. В кольце А [х] многочлен f (х) может следующим образом разлагаться на неразложимые множители:
/(х) = ф1(х)ф2(х)...ф г (х).
Сначала мы присоединим какой-нибудь корень at неразложимого многочлена ф! (х) и при этом получим поле А (а1), в котором фх (х), а потому и /(х), имеет линейный множитель х — аг.
Предположим теперь, ЧТО уже построено поле ДА = A (oCj, ... ..., ak) (k<_n), в котором у многочлена f (х) отщепляются (равные или различные) множители х — аъ ..., x — ak. Надполем ДА многочлен /(х) разлагается так:
f (х) = (х - аг)... (х - ak) ф/;, J (х)... фг (х).
Присоединим теперь к А* какой-нибудь корень ak 1 многочлена ф/;11(х). В расширенном таким образом поле Д/г (а*^) = A (alt ... • ••, «ш) У многочлена f (х) отщепляются множители х — аъ ... ..., x — ak j. Может оказаться и так, что в f (х) после указанного присоединения выделяется больше & + 1 линейных множителей.
Продолжая таким способом, мы в конце концов найдем поле Ал = А(а1, ..., ап), что и требовалось доказать.
Покажем теперь, что поле разложения заданного многочлена f (х) определяется однозначно с точностью до эквивалентности2). Для этого нам понадобится понятие продолжения изоморфизма.
Пусть А ^2, ДдЦ и пусть имеет место изоморфизм А^Д. Изоморфизм 2S42 называется продолжением заданного изоморфизма Д=гА, если каждый элемент а из А, который при исходном изоморфизме Д^Д переходил в й, при новом изоморфизме
2^2 имеет тот же самый образ а из А.
Все теоремы о продолжениях изоморфизмов алгебраических расширений опираются на следующее предложение:
*) Старший коэффициент многочлена / (х) мы здесь и в последующем считаем равным 1, что, очевидно, не влияет на ход рассуждений.
2) Предлагаемое здесь доказательство единственности поля разложения не дает эффективной конструкции этого объекта в конечное число шагов. См. по этому поводу Эрман (Hermann G.).—Math. Ann., 1926, 95, S. 736 — — 788 и ван дер Варден (van der Waerden В. L.).—Math. Ann., 1930> 102, S. 738.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
147
Если при некотором изоморфизме А ^ Д неразложимый многочлен ф (х) из А [х] переходит в (конечно, неразложимый) многочлен ф (х) из А [х] и если а — корень многочлена ф (х) в некотором расширении поля А, а а — корень многочлена ф (х) в некотором расширении поля А, то данный изоморфизм A?^A продолжается до изоморфизма А (а) ^ А (а), при котором а переходит в а.
Доказательство. Элементы из А (а) имеют вид ak (ck ? А) и подчиняются правилам, аналогичным тем, что действуют на многочленах по модулю ф(х). Равным образом, элементы из А (а) имеют вид Vj ck?h (ck еА) и подчиняются правилам, аналогичным тем, чго действуют на многочленах по модулю Ф (х), т. е. все обстоит точно так же, только нужно ставиш надстрочную черту. Следовательно, сопоставление
2 ckak >-* 2 ckak
(где Ck соответствуют элементам ck при изоморфизме А ^ А) является изоморфизмом, обладающим нужными свойствами.
В частности, если А = А и заданный изоморфизм отображает каждый элемент из А на себя, то доказанная выше теорема получается заново, потому что поля А (а), А (а), ..., возникающие при присоединении корней одного и того же неразложимого уравнения, эквивалентны и каждый корень можно перевести в любой другой с помощью подходящего изоморфизма.
Соответствующая теорема получается при присоединении всех корней некоторого многочлена вместо одного:
Если при некотором изоморфизме А ^ А многочлен f (х) из А[х] переходит в многочлен J (х) из ? [дг], то этот изоморфизм можно продолжить до изоморфизма произвольного поля разложения А (аь ..., а„) многочлена f (х) и произвольного поля разложения A (Pi, ..., р„) многочлена f(x), причем элементы ах, ..., ап перейдут в некоторой последовательности в элементы рь ..., р„.
Доказательство. Предположим, что изоморфизм А^А уже продолжен до некоторого изоморфизма А (аь .., ak) ^ = ?(Pi, ..., р*) (в случае необходимости изменим нумерацию корней), переводящего каждое а, в р,. (Для k = 0 это предложение тривиально.) В расширении А (ах, ..., ah) многочлен f (х) разлагается так:
f{x) = {x~a j) ... (х-аДф krl(x) ... фл (х).
Соответственно, с учетом изоморфизма, многочлен / (х) разлагается в А (рь ..., р/г):
/ (х) = (х - Pi) ... (x-P*H/hi(x) Фл(*).
148
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
В расширении Д (аъ ..., ап), соответственно в Д (Рь ..., рп) множители фу и лр|у разлагаются на (х — а*н1) ... (х — ап) и соответственно (х —P/Ml) (х — $п)- Наборы аш, ..., ап и pftu, ... ..., р„ можно упорядочить так, чтобы akn был корнем многочлена 9*hi(x), а рА+1 —корнем многочлена r|5ftll(x). Согласно предыдущей теореме изоморфизм
Д(аь .... а^)^Д(Р:, ..., pft) можно продолжить до такого изоморфизма
Д («ц .... а*ц) = Д (Pi, .... Pft+i),
