Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 58

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 247 >> Следующая

Доказательство. Элементы из А (а) имеют вид akak,
а элементы из А(Р) —вид а*р*. В обоих случаях эти элементы
нужно рассматривать как многочлен по модулю <р(х). СопостаВ' ление
Показать, что 2 является простым алгебраическим расширением
о
о
являетея, следовательно, изоморфизмом нужного типа.
ПРОСТЫЕ РАСШИРЕНИЯ
141
Многочлен ф (х), неразложимый над А, не обязан оставаться неразложимым над каким-либо расширением й. Если в ?2 у него появляется корень 0, то у него отщепляется по крайней мере один линейный множитель х — 0. Возможно, в поле й многочлен разлагается еще и на другие линейные и нелинейные множители:
ф (х) = (х - 0) (х - 02) . . . (х - 0/) ф! (х) . . . ф* {X).
Согласно доказанному выше в этом случае поля Д (0), Д (02), ... ..., Д (0;) оказываются эквивалентными, и при изоморфизмах
Д (0) — Д (02) ^= Д (0;)
элемент 8 переходит В б2, ..., бу.
Эквивалентные расширения (как, например, Д (б), Д (02), ... ..., Д (0у)), у которых есть общее содержащее их поле О, называют сопряженными (относительно Д); элементы 0, 02, ..., 0,, переходящие друг в друга при соответствующих изоморфизмах, также называются сопряженнымих). Из доказанного следует: все корни неразложимого в Д [х] многочлена ф (х), принадлежащие расширению О, являются сопряженными относительно Д. Обратно, элементы, алгебраические над данным полем и сопряженные над ним, являются корнями одного и того же многочлена ф (х), потому что при переходе С ПОМОЩЬЮ изоморфизма ОТ 0Х К 02 ИЗ ф(0!)=О следует ф(02) = О.
Существование простого расширения. До сих пор И было заданным надполем, и структура простого расширения изучалась внутри поля О. Поставим теперь задачу иначе: дано поле Д; найти расширение Д (6), где от 0 требуется, чтобы этот элемент был либо трансцендентным либо корнем наперед заданного многочлена из Д [х].
Если 0 должен быть трансцендентным элементом, то решить задачу просто: в качестве 0 возьмем переменную 8 = х и построим кольцо многочленов Д [х], а затем его поле частных Д (х), являющееся полем рациональных функций переменной х. Как мы видели, поле Д (х) является единственным простым трансцендентным расширением поля Д с точностью до эквивалентности расширений. Тем самым получилось утверждение:
Существует и притом только одно с точностью до эквивалентности простое трансцендентное расширение Д (0) заданного поля Д.
Если же элемент 0 должен быть алгебраическим, а именно — корнем некоторого неразложимого в Д [х] многочлена ф (х), то прежде всего мы можем считать, ЧТО ф не является линейным, так как иначе достаточно было бы положить Д (б) = Д.
1) Такое название используется в основном для алгебраических элементов 0- Трансцендентные элементы одного и того же поля заведомо попарно сопряжены.
142
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
ГГЛ VI
Искомое поле А (0) согласно сказанному выше должно быть изоморфно полю классов вычетов:
2' =Д[х]/(ф (*)).
В такой ситуации каждому многочлену f из А [х] сопоставляется некоторый класс вычетов / из 2' и это сопоставление оказывается гомоморфизмом. В частности, любой константе а из А соответствует класс вычетов а и это отображение поля А является не только гомоморфным, но и изоморфным, так как нуль является единственной константой, сравнимой с 0 по модулю ср (я). Следовательно, согласно изложенному в конце § 12 в поле 2' мы можем заменить классы вычетов а на соответствующие им элементы а из А; таким образом, поле 2' переходит в поле 2, которое содержит поле А и изоморфно полю 2'.
Многочлену х сопоставляется класс вычетов, который можно обозначить через 0. Следовательно, в поле 2 мы можем построить поле А (8). (Впрочем, 2 = Д(0), в чем нетрудно убедиться.) Из
П
ф м = Yi а1<хк s 0 (ф (*))
о
с помощью гомоморфизма следует, что
= о (В 2'),
о
а отсюда
ф (е)=2а^к "= °-
0
если заменить йк на ак. Следовательно, элемент 0 является корнем многочлена ф(х).
Итак, доказано следующее предложение:
Для произвольно заданного поля А существует одно (и с точностью до эквивалентности расширений только одно) простое алгебраическое расширение А (0) такое, что в является элементом, удовлетворяющим уравнению ф(9) = 0, где ф (х) — неразложимый многочлен из Д[х].
Процессу символического присоединения с помощью кольца классов вычетов и символа 0 можно противопоставить несимволическое присоединение, которое возможно тогда, когда с самого начала задано содержащее все рассматриваемые элементы поле Q и когда изначально задан элемент 0 с требуемыми свойствами. Например, если А — поле рациональных чисел, то несимволическое присоединение какого-либо алгебраического числа, т. е. корня какого-либо алгебраического уравнения, достигается тем, что за основу берется трансцендентным образом построенное ноле комп-
КОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ТЕЛ
143
лексных чисел ?2, в котором согласно «основной теореме алгебры» каждое уравнение с числовыми рациональными коэффициентами имеет решение. Описанное выше символическое присоединение позволяет избежать этого трансцендентного пути, определяя непосредственно алгебраическое число как символ класса вычетов, подчиненный соответствующим правилам действий. При этом не вводятся отношения порядка (>, <) или свойства вещественности. Но тем не менее как на символическом, так и на несимволическом пути получается одно и то же поле А (0), потому что в силу доказанного в начале все расширения А (0), в которых 0 удовлетворяют одному и тому же неразложимому уравнению, эквивалентны.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed