Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, строение содержащегося в 2 простого тела полностью определяется заданием числа р или числа 0, порождающего идеал р. (Идеал р состоит, как уже было сказано, из целых чисел п со свойством пе — 0.) Число р или соответственно число 0 называется характеристикой тела 2 или простого поля П.
Все обычные числовые и функциональные тела, содержащие поле рациональных чисел, имеют характеристику нуль.
Определение характеристики немедленно приводит к следующей теореме:
Пусть афО — произвольный элемент тела 2 и k — характеристика тела 2. Тогда из па = та следует, что n = m(k) и наоборот.
Доказательство. Умножим равенство па —та на а-1; тогда пе = те и отсюда, по определению характеристики, п = ssm{k). Вывод является обратимым.
136
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
Точно так же доказывается, что из па = пЬ и п^ёО(й) следует а = Ь.
Отметим одно важное правило:
В полях характеристики р имеют место равенства
Доказательство. Имеет место теорема о биноме (§ 11, задача 5):
так как числитель содержит множитель р, который не может быть сокращен. Остаются, таким образом, лишь слагаемые ар и Ьр:
(а Ь)р = ар-\- Ьр.
Положим здесь а-\-Ь = с; тогда
ср = (с — Ь)р Ьр,
(с - Ь)р = ср - Ьр, чем и доказываются оба утверждения.
Задача 1. Доказать для поля характеристики р индукцией по /:
Задача 3. Применить формулы задачи 2 к сумме 1 + 1+... + 1 по модулю р.
Задача 4. Доказать для поля характеристики р:
Пусть А —подтело некоторого тела О; тогда й называется расширением или надтелом тела А. Наша цель — получить сведения о всевозможных расширениях заданного тела А. Одновременно это будет служить информацией о телах вообще, потому что каждое тело можно представить как расширение содержащегося в нем простого тела.
(а Ь)р = ар Ьр, (а - Ь)р = ар- Ьр.
{а + Ь)р = ар + аР~1Ь + .-- + {р^\)аЬр1 + ЬР-
Если 0 < і < р, то
(а+ Ь)р1=ар' + Ьр*, (а-ьу’ = арУ -Ьр>.
Задача 2. Точно так же
(а1 + о2 + ... + ап)р = аР + аР + ... + аР.
р — і
(а — й)Р-!= 2 а>Ьр-*->.
1=0
§ 38. Присоединение
ПРИСОЕДИНЕНИЕ
137
Пусть сначала П — расширение тела А и 0 — произвольное множество элементов из П. Существует тело, содержащее Д и например, П — одно из таких тел. Пересечение всех тел, содержащих А и @, само является телом, содержащим А и 0, и обозначается через А(0). Оно является наименьшим среди подтел, содержащих А и 0. Мы говорим, что А (0) получается из А присоединением множества 0. Имеем
ДдД (0) <= П.
Два крайних случая таковы: Д(0) = Л и А(0) = П.
Телу А (0) принадлежат элементы из А и все элементы из 0, а также все элементы, получаемые при сложении, вычитании, умножении и делении элементов из А и 0. Все эти элементы составляют некоторое тело, которое, таким образом, должно совпадать с Д(0). Итак: тело А (0) состоит из всевозможных рациональных комбинаций элементов из 0 с элементами из А. В коммутативном случае эти комбинации можно записать просто как отношения целых рациональных функций от элементов из 0 с коэффициентами из А.
Если 0 —конечное множество: & = {иъ ..., ип}, то тело А (0) обозначают и через А (ии ..., ип). В этом случае говорят также о присоединении элементов их, ..., ип к телу А. Тем самым, круглые скобки всегда будут означать присоединение к телу, в то время как квадратные скобки, например, А [х], означают присоединение к А как к кольцу (т. е. здесь составляются всевозможные целые рациональные комбинации).
В рациональном выражении какого-либо элемента из А (0) через элементы из А и 0 участвует лишь конечное множество элементов из 0. Каждый элемент тела А (0) принадлежит, следовательно, некоторому телу А (§?), где ^ — конечное подмножество из 0. Следовательно, тело А (0) является объединением всех тел А ($), где % — произвольная конечная часть множества 0. Присоединение произвольного множества сводится, таким образом, к присоединениям конечных множеств и последующему взятию объединения.
Если 0 — объединение множеств 0Х и 02, то, очевидно,
А (0) = А (0Х) (02).
В самом деле, тело А (0^ (02) содержит А (0^ и 02 и, следовательно, А, 0Х и 02, а потому и А и 0 и, следовательно, тело А (0); обратно, тело А (0) обязательно содержит А, 0Х и 02, а потому и А(0]) и 02 и, следовательно, тело А(0])(02).
Присоединение конечного множества сводится, очевидно, к конечному множеству последовательных присоединений одного элемента. Расширение, полученное присоединением одного элемента, называется простым расширением тела. Такие расширения мы рассмотрим в следующем параграфе.
138
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
1ГЛ. VI
§ 39. Простые расширения
Все рассматриваемые в этом параграфе тела предполагаются полями. Пусть снова и 0 — произвольный элемент из П;
рассмотрим простое расширение Д (9).
Это поле содержит, прежде всего, кольцо @ всех многочленов 2 афк (щ.еД). Сравним @ с кольцом многочленов Д[х] от одной переменной X.
С помощью отображения / (лг) <—/ (0), точнее:
^ акхк ^ а*0*.
кольцо Д [л:] гомоморфно отображается на @')• По теореме о гомоморфизме кольцо @ оказывается изоморфным кольцу классов вычетов:
@ ^ Д М/)\
где р — идеал, состоящий из тех многочленов / (х), для которых 0 является корнем, т. е. для которых /(0) = О.
