Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Суммируем все сказанное:
Результант двух многочленов [(х), g(x) является целой рациональной формой от коэффициентов вида (3). Если результант равен нулю, то либо многочлены /, g обладают отличным от константы общим множителем, либо в обоих многочленах равен нулю старший коэффициент. Верно и обратное.
Метод исключения, которому мы здесь следовали, принадлежит Эйлеру; вид (3) результанта известен в основном благодаря исследованиям Сильвестра.
РЕЗУЛЬТАНТ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ
127
В приведенной формулировке теоремы исключительный случай ап = Ьо = 0 можно опустить, если вместо того, чтобы говорить о двух многочленах от одной переменной, повести речь о двух однородных многочленах от двух переменных:
К (х) = а0х" + пух? ~ ‘х2 +... + апх", в (х) = Ь0х+ ^Х'"- % + • • • + ьтх™.
Исходные многочлены /, ц и числа т, п определяют формы К, С совершенно однозначно и наоборот. Каждому разложению на множители многочлена /:
/ (х) = а0хп + арсп 1 +... + ап = (рихг + ... + рг) (?0х* +... + </*)
соответствует разложение формы Р:
К (х) = а0х'1 +... + апх1 = (р0х[ +... + ргх() + • • • + ДОа)
и аналогичное верно для g и С. Тем самым каждому общему множителю многочленов f и g соответствует общий множитель форм К и в. Обратно, каждое разложение для Р или для С, в котором мы полагаем хх — х, х2 = 1, дает разложение для / или соответственно для g и каждый общий множитель форм Р и в дает общий множитель многочленов / и ?. Но может оказаться, что некоторый общий множитель форм Тиб будет лишь чистой степенью переменной х2; тогда соответствующий общий множитель многочленов / и g будет константой. Случай, когда К и в делятся на некоторую степень х2, как раз является случаем равенств Щ = Ьо = 0, и поэтому сформулированные выше два случая в теореме объединяются в единое высказывание: если результант равен нулю, то Р и й имеют отличный от константы однородный общий множитель, и наоборот.
Выведем теперь важное тождество. Пусть коэффициенты а^, Ьу многочленов /(х), g(x) будут неизвестными. Положим
Хт 1{(х)=а0хп т-1 + а1хПгт 2 + ... + апхт \ х"‘ 2 / (х) = а0хп т~2 + • • • + апхт~2,
/ (х) — я«*'1 + • • • + °«>
хп ^ (я) = Ь0х" ш 1 + Ьгхп т 2 +... + Ьтхп-\
хп ^ (х) = Ь0хп+т 2 +... + Ьтхп~2,
§ (х) = Ь0х?п + ... + Ьт.
Определитель этой системы уравнений в точности равен Р. Исключим справа хплт 1 х, для чего осуществим умножения на ми-
128
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
норы последнего столбца и соответствующее сложение1); тогда получится тождество вида2)
Л/ + В? = я, (4)
где А и В — целочисленные многочлены от переменных ай, Ьу, х.
Задача 1. В терминах определителей дать критерий того, что / (х) и ? (х) имеют общие множители степени, не меньшей
Задача 2. Для любых двух многочленов второй степени справедливо равенство
4Д = (2о0&2 — оф1 + 2а2Ь0)2 — (4аойг— а1) (4^оЬ% й;).
§ 35. Результант как симметрическая функция корней
Предположим теперь, что оба многочлена / (х) и g (х) полностью разлагаются на линейные множители:
/ (х) =а0(х — х2) (х - х2) ...(х- хп),
Ц (х) = Ь0(х- у у) (х - г/2) . . . (х - ут).
Тогда коэффициенты а^ многочлена /(х) являются произведениями а0 и элементарных симметрических функций корней хг х„;
равным образом, коэффициенты являются произведениями Ь0 и элементарных симметрических функций корней ук. Результант к является однородным степени ш по йц и однородным степени п по Ьу; следовательно, результант И равен произведению а™Ь* на некоторую симметрическую функцию ОТ X/ и ук.
Пусть корни X; и ук рассматриваются сначала как переменные. Многочлен к обращается в нуль при х( = ук, так как в этом случае многочлены / (х) и g(x) имеют общий линейный множитель. Поэтому В делится на х1 — ук (§ 28). Так как линейные формы х; — ук попарно взаимно просты, результант к делится на произведение
я =а.*ЬгПП (*-**)• (1)
I ?
Это произведение можно преобразовать двумя способами. Первый получается из равенства
§{х) = Ь0\~[{х-ук)
к
подстановкой х = х1 и составлением произведения
Г1 § (х‘)=ь" П П (** - у »У
1 { к
х) См. задачу 9 в § 25. — Прим. ред.
2) Для форм Т и <5 соответствующее тождество таково:
Л/ 4- Вв --=хп2+т-' Я,
РЕЗУЛЬТАНТ КАК СИММЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КОРНЕЙ
129
таким образом,
S = а? П ?(**)• (2)
І
Второй способ получается из равенства
/ М = а0 Ц (х - Хі) = (- 1 )Х П (х‘- - х)
І
и точно так же приводит к
5 = (-1Г^П/Ы- (Зі
k
Из (2) усматривается, что 5 является целым и однородным
степени п по переменным Ь, а из (3) видно, что 5 является це-
лым и однородным степени т по переменным а. Результант R имеет, однако, те же степени по тем же переменным и делится на S; следовательно, R и S совпадают с точностью до некоторого целочисленного множителя. Сравнение слагаемых, которые содержат наивысшую степень элемента Ьт, дает слагаемое -j-a™bm как в R, так и в S; поэтому целочисленный множитель равен 1 и
R = S.
Таким образом, для R получены три представления (1), (2) и (3). В силу теоремы единственности из § 33 равенство (2) выполняется тождественно по bv, а (3) тождественно по а^, т. е. (2) имеет место и тогда, когда g (х) не разлагается на линейные множители, а (3) справедливо и тогда, когда на линейные множители не разлагается f(x).
