Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Более точные сведения о поведении алгебраических соотношений содержатся в главах 10 и 11.
Задача 5. Многочлен лД+І неразложим в поле рациональных чисел Ц (§ 31, задача 3). Присоединить корень этого многочлена, а затем разложить последний на неразложимые множители в поле (0 (0).
Задача 6. Пусть П — простое поле характеристики р, х — произвольная переменная и Д = П(л). Присоединить к Д корень ^ = неразложимого многочлена гр — х и разложить многочлен гР — х в расширении П(р.
Задача 7. Из простого поля характеристики 2 построить с помощью присоединения корня некоторого неразложимого квадратичного уравнения новое поле из четырех элементов.
§ 40. Конечные расширения тел
Тело ?2 называется конечным расширением подтела А или, коротко, конечным над А, если все элементы тела ?2 являются линейными комбинациями конечного множества элементов иъ ... ..., ип с коэффициентами из А:
ію = Ь1их + ... + Ьпип. (1)
В этом случае тело ?2 является конечномерным левым векторным пространством над А. Размерность, т. е. число элементов базиса ?2 над А, называется степенью расширения ?2 над А и обозначается через (?2: Л).
Пример. Пусть ?2 — простое алгебраическое расширение поля А:
?2 = А (0),
где 0 — элемент степени п над А, т. е. корень некоторого простого многочлена степени п из кольца А М. Элементы
1, е, 62, ..., б”“1
составляют базис поля А (0) над А, т. е. А (0) имеет конечную степень п над А.
144
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Пусть 2 — тело, промежуточное между А и О, т. е. А ^ Ї с ? П. Тогда имеет место следующая
Теорема о степенях. Если ?2 конечно над А, /по « 2 конечно над А, а О. конечно над 2. Обратно, если 2 конечно над А, а ?1 конечно над 2, то ?2 конечно над А и
(?2 : А) = (?2: 2) (2 : А). (2)
Доказательство. Если ?2 конечно над А, то подпространство 2 векторного пространства ?2 также конечно над А в силу § 20. То, что ?2 конечно над 2, очевидно, потому что ?2 конечно даже над А. Обратно, пусть конечны (2 : А) и (?2:2) и пусть ?{«!, ..., иг\ — базис пространства 2 над А, а {о1; ..., иД — базис пространства ?2 над 2. Тогда каждый элемент тела ?2 представляется в виде
і
= 2^2^“*^ (б/* е А)
= 22 6« (вд).
І к
Таким образом, каждый элемент тела ?2 линейно зависит от гз величин ы*уг. Эти величины линейно независимы над А, потому что из
2 2 &ікиІіУі = 0 (б/* ^ А)
і ?
в силу линейной независимости элементов V над 2 следует, что
б/^И^ 0,
к
а в силу независимости элементов и над А
6/4 = 0.
Следовательно, гв — степень тела ?2 над А, что и требовалось доказать.
Следствия формулы (2).
а) Если Дє2д?2 и (?2 : А) = (2 : А), то ?2 = 2. Действительно, из (2) следует, что (?2:2)=1. Аналогично:
б) Если А е 2 є ?2 и (О : 2) = (?2 : А), то 2 = А.
в) Если А е 2 ? ?2, то степень (2 : А) является делителем степени (?2 : А).
Задача 1. Какую степень имеет поле ([) (/', ]^2) над полем ([) рациональных чисел?
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
145
Задача 2. Все элементы произвольного конечного коммутативного расширения ?2 поля А являются алгебраическими над А элементами и их степени являются делителями степени расширения (Я : А).
Задача 3. Из скольких элементов состоит поле характеристики р, которое имеет степень я над своим простым подполем?
§ 41. Алгебраические расширения
Расширение 2 поля Д называется алгебраическим над А, если каждый элемент из 2 является алгебраическим над Д.
Теорема. Каждое конечное расширение 2 поля А алгебраично и получается из А присоединением конечного числа алгебраических элементов.
Доказательство. Если п — степень конечного расширения 2 и ае2, то среди степеней 1, а, а2, ..., а'1 произвольного элемента а есть не более я линейно независимых. Следовательно,
П
должно иметь место равенство = т- е- а — алгебраичес-
о
кий элемент. Тем самым доказано, что поле 2 алгебраично. В качестве порождающих элементов расширения 2 (т. е. присоединяемого множества) можно взять любой базис поля 2.
Благодаря этой теореме можно говорить о «конечных алгебраических расширениях» вместо «конечных расширений».
Обратная теорема. Каждое расширение поля А, которое получается присоединением конечного множества алгебраических величин к полю А, конечно (и, следовательно, алгебраично).
Доказательство. Присоединение алгебраического элемента 0 степени я дает некоторое конечное расширение с базисом 1, 0, ..., 0я-1. Последовательное построение конечных расширений согласно теореме из § 40 вновь приводит к конечному расширению.
Следствие. Сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов являются снова алгебраическими элементами.
Теорема. Если элемент а алгебраичен относительно 2, а 2 — алгебраическое расширение поля А, то а алгебраичен и над А.
Доказательство. В алгебраическое уравнение для элемента а с коэффициентами из 2 входит лишь конечное множество элементов р, у, ... поля 2 в качестве коэффициентов. Поле 2' == -=Д(р, у, ...) конечно над Д, а поле 2'(а) конечно над 2'; следовательно, 2' (а) конечно над Д и элемент а алгебраичен над Д.
Поля разложения. Среди конечных алгебраических расширений особенно важны поля разложения данного многочлена f (х), которые получаются присоединением всех корней уравнения f (х) = 0. При этом имеются в виду поля
