Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Так как @ не содержит делителей нуля, кольцо Д МЛ' их также не имеет, в силу чего р — простой идеал. Далее, идеал р не может быть единичным, потому что единичный элемент е при гомоморфизме переходит не в нуль, а сам в себя. Так как в ДМ каждый идеал является главным, возможны лишь два случая:
1. р = (ф(л:)), где ф (х) — неразложимый в ДМ многочлен2). Многочлен ф (х) является многочленом наименьшей степени среди обладающих свойством ф(0)=О. Следовательно,
Д М/(ф (*))•
Кольцо классов вычетов справа является полем (§ 16); следовательно, @ также является полем. Таким образом, @ является искомым простым расширением Д(б).
2. р = (0). Гомоморфизм Д[х]н-оказывается изоморфизмом. Кроме нуля, в данной ситуации не существует многочлена / (х) со свойством /(0) = О, так что с выражениями /(0) можно обращаться так, как если бы элемент 0 был переменной х. Кольцо @^Д[х] не является в этом случае полем, но из указанного выше изоморфизма следует изоморфизм соответствующих полей частных: поле Д (0), являющееся полем частных кольца изоморфно полю рациональных функций от одной переменной х.
х) В некоммутативном случае это неверно, так как переменная х всегда считается перестановочной с коэффициентами ак, а элемент 0 таковым быть не обязан. Все рассмотрения этого параграфа оказываются верными лишь в том частном случае, когда 0 коммутирует со всеми элементами тела Л.
2) Вместо выражения «неразложим в кольце Л [х]» часто говорят также «неразложим в поле Д». По-видимому, было бы лучше говорить «неразложим над полем Д».
ПРОСТЫЕ РАСШИРЕНИЯ
139
В первом случае, когда элемент 0 удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению ф(6) = 0 над А, элемент 6 называется алгебраическим над А и поле А (0) называется простым алгебраическим расширением поля А. Во втором случае, когда из/(0) = О следует, что / (х) = 0, элемент 0 называется трансцендентным над А, а поле А(0) — простым трансцендектшм расширением поля А. Согласно сказанному выше, с трансцендентным над полем элементом можно обращаться так же, как с некоторой новой переменной: А(0)^Д(х). В алгебраическом случае, согласно сказанному выше, имеем
А(0) = @ = А [*]/(<р (*)),
где ф (х) — (неразложимый) многочлен наименьшей степени среди имеющих корень 0.
Из последнего соотношения в алгебраическом случае получаются следующие утверждения:
а) каждая рациональная функция от 8 может быть записана как многочлен ^ а,фн- (Потому что @ определяется как совокупность таких многочленов.)
б) С такими многочленами можно обращаться как с классами вычетов по модулю ф (х) в кольце многочленов А [х].
в) Равенство
Д6)=0
можно заменить на сравнение
1 (х) = 0 (ф (х)),
и наоборот.
г) Так как каждый многочлен /(х) по модулю ф (х) может быть заменен многочленом степени, меньшей п, где п — степень многочлена ф (х), то все элементы из А (0) можно представить
в виде
Р= 2 аф».
к = 0
д) Так как 0 не удовлетворяет ни одному уравнению степени, меньшей п, представление
Р = 2
к = 0
элемента р из А (0) является единственным.
Уравнение ф(х)=0 при неразложимом ф (х), решением или корнем которого является 0, называется уравнением, определяющим поле А(0). Степень многочлена ф (х) называется степенью алгебраического элемента 0 относительно А.
Степень равна 1, когда 0 является решением некоторого линейного уравнения над А, т. е. является элементом самого поля А.
140
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
В этом случае можно положить <р (х) = х — 0, и вышеприведенное утверждение в) вновь приводит к уже доказанному факту: Каждый многочлен f (х) с корнем 8 делится на х — В.
Задача 1. Для случая простого алгебраического расширения доказать неразложимость минимального многочлена ф (х), а также утверждения а) — д) непосредственно, т. е. без использования теоремы о гомоморфизме и свойств поля Д [х]/(ф (х)). (Последовательность утверждений: неразложимость, в), б), а) г), д). Для доказательства а) воспользоваться в).)
Задача 2. Показать далее, что ф (х) является единственным с точностью до постоянного множителя неразложимым многочленом из Л [х] с корнем А.
Задача 3. Каковы степень порождающего элемента и определяющее уравнение:
а) поля комплексных чисел над полем вещественных чисел;
б) поля (Q (> 3) над полем рациональных чисел;
в) поля СЦ над полем (0 рациональных чисел;
г) поля Ж[(]/(7) над содержащимся в нем простым подполем (2 [і] — кольцо целых гауссовых чисел)?
Задача 4. Пусть Г — основное поле, г — переменная, 2=Г(г), Д =
поля Д. Каково неразложимое над Д уравнение, которому удовлетворяет элемент г?
Два расширения 2, 2' поля А называются эквивалентными (относительно А), если существует изоморфизм 2 = 2', при котором каждый элемент из А переходит в себя (остается неподвижным).
Любые два простых трансцендентных расширения произвольного поля А эквивалентны.
Действительно, с помощью отображения f(x)/g(x)^-^f{B)/g(B) произвольное простое трансцендентное расширение А (0) становится эквивалентным полю рациональных функций от одной переменной х.
Два простых алгебраических расширения А (а), А(Р) эквивалентны, если а и р являются корнями одного и того же неразложимого в А [х] многочлена ср (х); в этом случае существует такой изоморфизм между указанными полями, что все элементы из А остаются неподвижными, а а переходит в р.
