Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Для произвольного п выразить суммы степеней ^хг У! х] через элементарные симметрические функции.
Задача 2. Пусть У].х^ = «р- Доказать формулы
«р — «р-10х + «р-202 — ••• + (— 1 )р-1 «10р-х -И— 1 )р р0р = 0 для р ==: п «р —*р-1ст1 + ••• + (—О" *р-«ач = 0 для Р>я-
и с их помощью выразить суммы степеней «х, «3’ «4» «з через элементарные
симметрические функции.
124 ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [ГЛ. V
Важной симметрической функцией является квадрат произведения разностей:
Я = П (Х‘~Хк)*•
I < к
Выражение для П как многочлена от
а1 = —сх, а2 = а2, ..., а„ = (— \)пап
называется дискриминантом многочлена
/ (г) = гп + а1гп'1 + ... + а„.
Обращение в нуль дискриминанта для частных значений ах, ... ..., ап означает, что /(г) имеет кратные линейные множители.
Если многочлен /(г) представить в более общем виде с произвольным старшим коэффициентом а0:
/ (г) = а0гп + 1 +... + ап,
то получится
гт — — ^ гг о =(—IV* —
ст1- в,* а* а0 ’ ‘ ‘ ‘ ^ в*’
Дискриминантом многочлена /Дг) в этом случае называют произведение разностей, умноженное на а*"-8:
0 = 0™-* П {х1-хку.
Кк
В § 35 мы увидим, что Б представляет собой многочлен от ап, а^, . ? • , ап.
Применяя описанный выше общий метод, мы получим дискриминанты
для а0х2а2:
?> = а\ — 4а0а2;
для а0хл + а^2 + а2х + а3:
Б = а\а\ — 4 а0а2 — 4а}а3 — 27а\а1 + 18а1)а1а.2а:1.
Задача 3. Дискриминант остается инвариантным при замене всех Х( на х,- + /г. Вывести отсюда дифференциальное соотношение
яа0 + (п — 1) в] + ... + ап_ 1 = 0.
§ 34. Результант двух многочленов
Пусть К — произвольное поле и
/ (х) = а^хп + аххп~х +... + ап,
?{х) = Ьахт + Ь1хт '+... + Ьт,
РЕЗУЛЬТАНТ ДВУХ МНОГОЧЛЕНОВ
125
— два многочлена из км. Найдем необходимое и достаточное условие для того, чтобы эти два многочлена имели отличный от константы общий множитель <р (х).
С самого начала мы не исключаем возможность того, что н0 = 0 или 6о = 0, т. е. степень / (х) может в действительности быть меньше п, а степень g (х) — меньше т. Если многочлен f (х) записан в указанном виде и начинается с (возможно нулевого) слагаемого а0хп, то число п называют формальной степенью многочлена, а а0 —формальным старшим коэффициентом. Мы будем предполагать, что по крайней мере один из старших коэффициентов а0, Ь0 отличен от нуля.
В этом предположении мы прежде всего покажем следующее: f (х) и g (х) имеют общий множитель, отличный от константы, тогда и только тогда, когда имеет место равенство вида:
h {х) f (х) = k (х) g (х), (1)
где h(x) имеет степень, не большую т— 1, a k (х) — степень, не большую п — 1, причем хотя бы один из многочленов /г, k не является тождественным нулем.
Действительно, если выполнено (1), то при разложении обеих частей этого равенства на простые множители слева и справа должно стоять одно и то же. Мы можем предположить, что f(x) в действительности имеет степень п (и а0=^0); в противном случае мы могли бы поменять ролями /(х) и g(x). Все простые множители многочлена f(x) должны быть и в правой части равенства (1), причем с тем же самым числом повторений. В один лишь многочлен k (х) все эти множители входить в тех же степенях, что ив/ (х), не могут, потому что степень k (л:) не превосходит п — 1. Следовательно, некоторый простой множитель многочлена / (х) входит в g (х), что и требовалось.
Обратно, если ф (х) — отличный от константы общий множитель / (х) и g(x), то нужно лишь положить
/ (х) = Ф (х) k (х), g (Л) = Ф М h (х),
и получится (1).
Чтобы подробнее изучить равенство (1), положим
h (х) = с0хт~г + CjXm-2 +... + ст.Л,
k (х) = duxn^ + <Дх"~2 +... + dn_i.
Раскрывая скобки в равенстве (1) и сравнивая коэффициенты
ври одинаковых степенях х"+ш^, хл+т~2, ..., х, 1 слева и справа,
126
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
ГГЛ V
мы приходим к системе уравнений для коэффициентов С/, и с!/: с0а0 — с10Ь0,
с0ал 4- сга0 = ф <1фй,
с0аг ф- сга1 ф- с2а0 — с10Ь2 ф- (11Ь1 ф- <1ф0, (2)
Ст-г^-п 4“ Ст- хФя-1 = &п-Фт 4“ -Фт-1>
Ст~1&п " Фт‘
Это п-\-т однородных линейных уравнений относительно п + т величин щ, 3,. От этих величин требуется, чтобы они не обращались в нуль одновременно. Условием для этого является равенство нулю определителя. Чтобы в определителе не было знака минус, мы перенесем выражения, стоящие в правых частях, налево и в качестве неизвестных рассмотрим величины с;, —с!,. Если после этого еще поменять ролями строки и столбцы определителя (транспонирование относительно главной диагонали), то получится определитель вида
0 ... ап
а о Щ ... ап
а0 ах ... ап
0 Ьх ... Ьт
ь„ Ьх ... Ьт
&о Ьх ... Ьт
(Всюду там, где ничего не написано, подразумеваются нули.)
Этот определитель называется результантом многочленов / (х), g(x). Следует отметить, что он является однородным многочленом степени т по переменным а{ и степени п по переменным Ь1; далее, его старший член — произведение элементов главной диагонали — равен а^'Ьт и, наконец, результант равен нулю не только тогда, когда /, g имеют общий множитель, но и тогда, когда (вопреки сделанному в начале предположению) а0 — Ь0 = 0.
