Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда легко следует и неразложимость результанта как многочлена от а0, ..., Ьт, причем неразложимость не только в смысле целочисленных многочленов, а неразложимость абсолют' пая, т. е. неразложимость в кольце многочленов над любым полем. Действительно, если бы R разлагался на два множителя А, В, то Л и В можно было бы вновь рассматривать как симметрические функции корней1). Так как R делится на х1 — у1, то А или В — пусть А— делится на эту же разность. Но как симметрическая функция, многочлен А должен (если ОН делится на Хх — Ух) делиться и на все остальные x-t — yk, а потому и на произведение
ПИ у*)-
і k
Так как
Я =а0тЬгПП (*<“»*),
Т В этом месте неявно используется теорема о существовании корня произвольного многочлена в надлежащем расширении поля коэффициентов, о которой речь впереди (§ ЪЩ. — Прим ред.
130
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
для другого множителя В остается лишь одна возможность: В = = Но R как многочлен от а и b делится либо на а0, либо на &0; поэтому для В остается возможным лишь равенство В = 1. Тем самым неразложимость многочлена R доказана.
Другое доказательство дается в книге Маколей (Macaulay F S). Algebraic theory of modular systems —Cambride, 1916, § 3.
Существует интересная связь между результантом двух многочленов и дискриминантом многочлена. Именно, построим результант R (/, /') для данного многочлена
/ (х) = а0хп + аХхп 1 +... + ап = а0 (х — хг) (х — х%)... (х — хп) и его производной f (х)\ тогда согласно (2)
ж/. п=«г1П/'(^). (4)
I
По формуле производной произведения имеем
г м = 2 а° (х - *i) • • • (х - x‘~J (х - x‘+J ?? (х~ хп\
I
f (х{) = а0 (х, (х, - х{-г) (xt - х,+1)... (х, - х„).
Подставим это в (4); тогда получится равенство
R(f, Г) = ^"-'11 (х,-хк),
1 jtk
или, если через D обозначить дискриминант многочлена /(х),
Я (A f') = ±aaD. (5)
Если записать R (/, f) как определитель из § 34, то из первого столбца можно будет вынести множитель а0; тем самым D
становится многочленом от а0, ..., ап. Равенство (5) выполняется, конечно, тождественно по «о й, и не зависит от того, разлагается ли f (х) на линейные множители или нет
Задача 1. Результант многочленов fug является изобарическим веса тп по коэффициентам а и b (§ 33)
Задача 2. Если yv .., уп_г являются корнями производной f (х), то
Р = яЧ~1П/(У*)-
k
Задача 3. Дискриминант D обращается в нуль тогда и только тогда, когда f (х) и f (х) имеют общий множитель. Если такой множитель существует, то в разложении многочлена / (х) на простые множители существует либо кратный множитель, либо множитель с тождественно равной нулю производной.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
131
§ 36. Разложение рациональных функций на простейшие дроби
Разложение рациональных функций на простейшие дроби опирается на следующую теорему о целых рациональных функциях: Если g(x) и h (х) — два взаимно простых многочлена над полем К, если а — степень многочлена g (х), b — степень многочлена h (х) и если f (х) — произвольный многочлен, степень которого меньше а + Ь, то имеет место тождество
f(x) = r(x)g(x)+s{x)h(x), (1)
в котором г (х) имеет степень, меньшую b, a s (х) имеет степень, меньшую а.
Доказательство. По условию, наибольший общий делитель многочленов g(x) и h(x) равен 1; поэтому справедливо тождество
1 = с (х) g (х) + d. (х) h (х).
Если это умножить на f(x), то получится
f ix) = / М с (х) g(x) + f (х) d (х) h (х). (2)
Чтобы сделать степень f(x)c(x) меньшей Ь, разделим этот многочлен на h(x):
f (х) c(x) — q (х) h(x) + r (х), (3)
где степень многочлена г (х) меньше степени многочлена h (х) и, следовательно, меньше Ь. Подставим (3) в (2):
f(x) = r (х) g (х) + {f (х) d (х) + q (х) g(x)}h (х) = г (х) g (х) + s(x)h (х).
При этом степень левой части и первого слагаемого справа меньше а-\-Ь\ следовательно, и последнее слагаемое справа имеет степень, меньшую а-\-Ь, так что степень многочлена s (х) меньше а. Тем самым сформулированная выше теорема доказана.
Разделим тождество (1) на g(x)h(x); тогда получится разложение дроби - на две дроби:
/(*) = г (х) s (х)
g (х) h (х) h(x) g (х)
В левой части, по условию, степень числителя меньше степени знаменателя. В каждой из дробей справа имеет место то же самое. Если в одной из этих дробей вновь можно разложить знаменатель в произведение двух взаимно простых многочленов, то эту дробь можно будет в свою очередь разложить в сумму двух других дробей. Так можно продолжать до тех пор, пока знаменатели не превратятся в степени простых многочленов. Это доказывает теорему о разложении рациональных функций на простейшие дроби:
132
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Каждая дробь {(х)/1г(х), знаменатель которой имеет степень, большую степени числителя, является суммой простейших дробей, знаменатели которых являются степенями простых многочленов, на которые разлагается знаменатель к(х).
Получаемые таким способом дроби г (х)Щ (х) со знаменателями ц (х) = р (х)‘ можно разлагать дальше. Действительно, если многочлен р (х) имеет степень I, то <7 (х) имеет степень Ы и числитель г(х), степень которого меньше И, можно сначала разделить на р(х)(~1, получив некоторый остаток степени, меньшей /(/ —1);
