Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
затем этот остаток поделить на р (х)‘ 2, получив остаток степени,
меньшей /(/ — 2), и т. д.:
г (дс) == (х)р(х)‘-1 + г1 (X),
П (х) = (х) р (х)‘~2 + Г., (х),
г,-г (х) = (х) Р (X) + Г,Л (х),
П-Л (х)=э( (х).
При этом частные 5Х, ..., &к имеют степень, меньшую I. Из всех этих равенств в совокупности следует, что
Г (х) = в! (X) р (х)‘ 1 + (х) р (х)‘~2 + . . . + 5/-! (х) Р (х) + Я, (х),
Г(Х) _ 5х (X) 52(Х) | ^-Ж . 5, (х)
р(х)1 р( х) р(х)2 р(х)‘-1 р(х)г
Так получается вторая формулировка теоремы о разложении в сумму элементарных дробей.
Пусть / (х)/к {х) — дробь, числитель которой имеет степень, меньшую степени знаменателя, и знаменатель которой разлагается на простые множители следующим образом:
к (х) = Р1 {х)1'рг (х)‘*... рп {х)1К
тогда / {х)/к (х) является суммой простейших дробей, знаменатели которых представляют собой степени ру (х)^ (щ, ==?; Д), а числители которых имеют степень, меньшую степени входящего в знаменатель неразложимого многочлена р„ (х).
Если, в частности, все простые множители р.„ (х) линейны, то все числители являются константами. В этом важном частном случае разложение в сумму простейших дробей осуществляется очень простым способом: нужно всякий раз отделять дробь с наибольшей возможной степенью знаменателя, и степень знаменателя тем самым будет понижаться. Действительно, запишем знаменатель в виде ? (х) = (х ~ а)‘§ (х), где §-(х) не делится на х — а; тогда
Ж = Ж _ Ь / (х)—Ьё (х) ,5.
к {х) {х-а? в (х) (х - а)‘ (х - а)' % (х) ’
§ 36] РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ 133
где константу Ь всегда можно определить так, чтобы числитель второй дроби обращался в нуль при х = а и, следовательно, делился на х — а:
!(а)-Ьц(а)= О, f(x)-bg(x) = (x-Cl)f1(x).
Вторую дробь в (5) можно теперь сократить на х — а и, продолжая тем же способом, прийти к полному разложению на простейшие дроби.
Глава шестая
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
Цель этой главы — получить первые сведения о строении полей, об их простейших подполях и расширениях. Некоторые из проводимых здесь исследований относятся и к произвольным телам.
§ 37. Подтело. Простое тело
Пусть Б — произвольное тело.
Если подмножество А в Б вновь является телом, то его называют подтелом тела Б. Для этого необходимо и достаточно, чтобы А было, во-первых, подкольцом (т. е. вместе с а и Ь содержало а — Ь и а-Ь), во-вторых, содержало единичный элемент, а также вместе с каждым а Ф 0 обратный к нему элемент пт1. Вместо этого можно также потребовать, чтобы А содержало хотя бы один ненулевой элемент и вместе с а и Ъ содержало также а — ЬиаЬ1.
Очевидно,
Пересечение любого множества подтел тела Б вновь является подтелом в Б.
Простым телом называется такое тело, в котором нет собственных подтел. Ниже мы увидим, что все простые тела коммутативны.
В каждом теле Б существует и притом только одно простое тело.
Доказательство. Пересечение всех подтел в Б является телом, которое, очевидно, не имеет собственных подтел.
Если бы существовали два простых тела в Б, то их пересечение было бы вновь подтелом в каждом из них, а потому совпадало с каждым из них; следовательно, эти два тела не были бы различны.
Типы простых тел. Пусть П — простое тело, содержащееся в теле Б. Оно содержит нуль и единичный элемент е, а потому и целые кратные этого элемента: пе — ± (е + е + .. . + е).
п раз
Сложение и умножение элементов пе осуществляется по правилам:
пе + те = (п -(- т) е, пе те = пт е2 — пт е.
ПОДТЕЛО. ПРОСТОЕ ТЕЛО
135
Следовательно, целочисленные кратные пе составляют некоторое коммутативное кольцо ф}. Далее, отображение ti i—»? пе задает некоторое гомоморфное отображение кольца Z целых чисел на кольцо ф?. Согласно теореме о гомоморфизме (§ 15) к-ольцо ф изоморфно кольцу классов вычетов Z/p, где р — идеал, состоящий из тех целых чисел п, которые отображаются в нуль, т. е. дают равенство пе = 0.
Так как кольцо ф не содержит делителей нуля, кольцо классов вычетов Z/p тоже не содержит делителей нуля; следовательно, идеал р должен быть простым. Далее, идеал р не может быть единичным, потому что иначе выполнялось бы равенство 1-е = 0. Следовательно, есть только две возможности:
1. р = (р), где р — простое число. В этом случае р является наименьшим положительным числом со свойством ре = 0. Таким образом,
$^Z/(p).
Кольцо Z/(p) является полем. Следовательно, кольцо ф —поле, являющееся по построению простым телом. В этом случае простое тело изоморфно кольцу классов вычетов кольца целых чисел по некоторому простому идеалу, на элементы п ? е распространяются те же правила действий, что и на классы вычетов целых чисел п по модулю р.
2. р = (0). Тогда гомоморфизм Z-э-ф! является изоморфизмом. Кратные пе попарно различны: из пе — 0 следует, что д = 0. В этом случае кольцо $ не является телом, потому что таковым не является кольцо целых чисел. Простое тело П должно содержать не только элементы из ф, в нем должны быть еще отношения этих элементов. Из § 13 мы знаем, что изоморфные целостные кольца ф, Z имеют изоморфные поля частных, так что в этом случае простое тело П изоморфно полю (Q рациональных чисел.
