Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ьп
М0
Ь А 2Ь0
Айх
Ь2 А 2Ьг
А6, ...
(8)
где /(щ.) = йу; символ Му означает Ьх11 — Ьх; символ АгЬх означает ДМу = Лбу,, — Му и т. д. Если Ь0, Ьъ ... — значения некоторого многочлена п-й степени, то согласно сказанному выше я-е разности будут равны одной и той же константе, а (я + 1)-е разности все равны нулю. Сам многочлен будет задаваться формулой (2) с коэффициентами
= (9)
Оказывается, имеет место и обратное утверждение:
Если (п-|-1)-е разности последовательности Ь0, Ьх, Ь2, ... равны нулю, то Ь0, Ьи ... являются значениями многочлена п-й степени /(х), который задается формулами (2) и (9).
Действительно, построим с помощью многочлена / (х) схему разностей и сравним ее с заданной схемой (8); обязательно совпадут начальные элементы Ь0, М0, Д2Ьт ..., ДпЬ0 каждого из столбцов, а (п-\- 1)-й столбец в обоих случаях будет нулевым. Отсюда последовательно получается, что элементы п-х столбцов, а затем (я—1)-х столбцов и т. д. и, наконец, первых столбцов обеих схем совпадают.
Приведенный выше способ доказательства одновременно показывает, как, начиная с последнего столбца, можно получить все элементы схемы (8), когда заданы начальные элементы АкЬ0 = = к\\к (ф = 0, 1, ..., п) всех столбцов. Нижеследующий пример
112
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
(п — 3, а0 = 0, Аа0 — 1, Д2с0 = 6, Д3а0 = 6), возможно, пояснит сказанное:
О
1
1 6
7 6
8 12
19 6
27 18
37 6
64 24
61 Я3=4=1,
125
/ (х) = С) "I- ^-\Х “I- {х — 1) -(- ЯдАГ (х — 1) (х — 2) =
= х + 3х(х — 1) + лг (л: — 1) (х — 2) =х3.
Будем подразумевать под арифметической прогрессией нулевого порядка произвольную последовательность одинаковых чисел Ь, Ь, Ь, ..., а под арифметической прогрессией п-го порядка — такую последовательность чисел, у которой последовательность разностей является арифметической прогрессией (п — 1)-го порядка. Очевидно, что первый столбец в схеме (8) является арифметической прогрессией п-го порядка, потому что (п + 2)-й столбец состоит из одних нулей. Тем самым доказанное выше мы можем сформулировать так:
Значения многочлена f (х) степени п в точках 0, 1, 2, 3, составляют арифметическую прогрессию п-го порядка, и каждая арифметическая прогрессия п-го порядка состоит из значений в заданных точках некоторого многочлена не выше п-й степени. Сам многочлен f{x) находится из формул (2) и (9). Общий член Ьх арифметической прогрессии п-го порядка определяется по формуле
f>x = f (х) =
= Ь0 + {&Ь0)х + Щ?-х{х- 1) + ... + — х(х- l)...(x-n-f 1).
Схема разностей (8) находит свое практическое применение в интерполировании и интегрировании функций, которые задаются числовыми (эмпирически построенными) таблицами. ?сли Ь0, Ьъ Ьг, ... — значения некоторой функции ф (х) при равноотстоящих значениях аргумента а0, o.0-\-h, сс0-(-2/г, ..., то практика показывает, что для достаточно гладких функций и для небольших зна-
§ 10]
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ
113
чений к разности второго, третьего, четвертого или, в худшем случае, пятого порядка практически равны нулю; поэтому в нескольких непосредственно следующих друг за другом интервалах функция достаточно точно заменяется многочленом степени не выше четвертой. Для целей численного интерполирования или интегрирования данную функцию можно заменить многочленом, принимающим заданные значения в следующих друг за другом точках, число которых колеблется от 2 до 5. Интерполирование осуществляется с помощью формулы (2). Как правило, при этом оказывается возможным ограничиться разностями первого и второго порядка, т. е. линейными или квадратичными многочленами. При вычислении элементов Д*ау в разностных отношениях функции встречаются не только множители к\, но и степени длины интервала /г; тем самым вместо (9) получается формула
Если значения аргумента а0, аи ... не являются равноудаленными друг от друга, то вместо разностей Акау нужно составлять разностные отношения (7). По поводу дальнейших подробностей теории, оценок погрешностей и т. д. мы отсылаем читателя к соответствующей учебной литературе1).
т — 1
Задача 1. Частичные суммы &т= а\- арифметической прогрессии л-го
V = 0
порядка (где предполагается, что х0 = 0) составляют арифметическую прогрессию (л+1)-го порядка. Отсюда получается формула для суммы
В § 18 мы уже видели, что в кольце многочленов К [лг] над полем К выполняется теорема об однозначном разложении на простые множители. Сейчас мы докажем более общую основную теорему:
Если @ — целостное кольцо с единицей и в @ имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители, то и в кольце многочленов @ [х] эта теорема оказывается выполненной. Приводимое здесь доказательство восходит к Гауссу.
Afeflp
k\hk
т — 1 т т— 1
Задача 2. Получить формулы для сумм ^ v> 2 v2’ 2 vS*
v = 0 v = 0 v — 0
§ 30. Разложение на множители
Ч См., например, Ковалевский (Kowalewski G-), Interpolation und gen?herte Quadratur.— Leipzig, 1930.
114
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ V
Пусть f (х) = 2 щх‘ — произвольный ненулевой многочлен из о
@[х]. Наибольший общий делитель d коэффициентов а0, ап в кольце @ (ср. § 18, задача 7) назовем содержанием многочлена f(x). Если вынести d за скобки, то получится равенство
