Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. ® = Z; f(x) — x3— х2+1. Если многочлен f (х) разложим mod (2), то один из сомножителей должен быть линейным или квадратичным. По модулю 2 есть лишь два линейных многочлена
х, х+1
и лишь один неразложимый квадратичный многочлен
х2+х+1.
Процесс деления показывает, что хъ — х2+1 не делится ни на один из этих многочленов (по модулю 2). Это непосредственно усматривается из соотношений х5. —х2+1 =х2 (х3—1)+1 езх2(х+1) (х2 + х+1)+1. Следовательно, f (х) — неразложимый многочлен.
§ 32. Разложение на множители в конечное число шагов
Мы рассмотрели теоретическую возможность разложения каждого многочлена кольца 2 [*i> ••• > х„\ над полем ? на простые множители и в некоторых случаях указали средство выяснения того, возможно такое разложение или нет. Однако у нас нет метода, который позволял бы в любом случае решить вопрос о разложении многочлена в конечное число шагов Один из этих методов, который пригоден по крайней мере в случае, когда 2 —поле рациональных чисел, мы сейчас изложим.
120
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
Согласно § 30 любой многочлен с рациональными коэффициентами можно считать многочленом с целыми коэффициентами и искать целочисленное разложение последнего. В кольце 2 целых чисел разложение на простые множители проводится, очевидно, с помощью конечного числа проб; кроме того, в этом кольце есть лишь конечное множество обратимых элементов (4- 1 и — 1), а потому лишь конечное число возможных разложений. В кольце многочленов 2 [хъ ..., х„] число обратимых элементов тоже конечно: эти элементы суть 4-1 и —1. Индукцией по числу переменных п все сводится к следующей задаче:
Пусть в кольце @ разложение на множители осуществляется в конечное число шагов, и пусть в ® существует лишь конечное множество обратимых элементов. Найти метод разложения произвольного многочлена из кольца ® (х) на простые множители.
Решение этой задачи было дано Кронекером.
Пусть / (х) — многочлен п-й степени из ®[х]. Если / (х) разложим, то один из сомножителей будет иметь степень 5^ п/2; следовательно, если « — наибольшее целое число, не превосходящее п/2, то мы должны проверить, имеет ли / (х) какой-либо делитель g(x) степени -г;«.
Найдем значения /(а0), / (а{)...... /(о«) многочлена / (х) в *+1 произ-
вольно выбранных целочисленных точках а0, а1, ... , а8. Если теперь / (х) делится на § (х), то обязательно / (а0) делится на g (а0), / (а4 делится на g (ах) и т. д. Но так как каждое целое число / (аг-) в кольце @ имеет лишь конечное ЧИСЛО делителей, ДЛЯ g(ai) имеется лишь конечное число возможных значений, которые, согласно условию, можно перебрать. Согласно теоремам из § 29 для каждой возможной комбинации значений g(a0), д(а1), ... , ^ (а4.) существует ровно один многочлен g(x), причем g (х) всегда может быть указан в явном виде. Тем самым мы нашли конечное множество многочленов ^(х), которые могут быть делителями данного многочлена. По поводу каждого конкретного многочлена ц(х) с помощью алгоритма деления можно выяснить, является ли он в действительности делителем многочлена / (х) или нет. Если ни один из многочленов g(x) не окажется делителем многочлена /(х) (мы опускаем случаи обратимых делителей), то / (х) неразложим; в противном же случае находим некоторое разложение и к каждому из полученных множителей можно применить ту же процедуру и т. д.
В целочисленном случае (@ = 2) описанный метод можно сильно сократить. Сначала нужно рассмотреть разложение данного многочлена по модулю 2 и, возможно, по модулю 3, чтобы понять, какие степени могли бы иметь его делители ? (х) и каковы классы вычетов коэффициентов по модулю 2 и по модулю 3. Такие наблюдения значительно сократят число возможных претендентов на роль делителей вида ц (х). Затем, применяя интерполяционную формулу Ньютона, можно заметить, что последний коэффициент какого бы то ни было делителя является старшим коэффициентом многочлена / (х), а это вновь уменьшает число возможностей. Наконец, часто используется прием, при котором берется более «+1 точек а/. Здесь нужно определить возможные значения g (а^, делящие те / (а,-), которые содержат наименьшее число простых делителей; остальные точки также можно использовать для того, чтобы ограничить число возможностей. Для этого при вычислении каждого многочлена g (х) нужно сначала выяснить, являются ли его значения в неучтенных еще точках в( делителями соответствующих чисел { (01) или нет.
Задача I. Разложить многочлен
{(х) = х\4-х*4-х24-*4-2
в кольце 2 [х] на простые множители
Задача 2. Разложить многочлен
{{х, у, г) = — х3 — у3 — г84-х2 (у + г) + у* (х4-г)4-г2 (х + у) — 2хуг в кольце 2 [х, у, г] на простые множители.
§ 331 СИММЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ '21
§ 33. Симметрические функции
Пусть о — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Многочлен кольца о [хи ..., х„] называется (целой рациональной) симметрической функцией переменных хи ..., х„, если он переходит в себя при любой перестановке переменных хи ..., х„. Например, сумма, произведение, сумма степеней этих переменных — симметрические функции.
С помощью новой переменной г построим многочлен
