Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью индукции из основной теоремы получается следующий результат:
Если 3 — целостное кольцо с единицей ив 3 имеет место теорема об однозначном разложении на множители, то она справедлива и в кольце многочленов 3 [хь ..., х„].
Отсюда, среди прочего, получается однозначность разложения для целочисленных многочленов (от произвольного числа переменных), для многочленов с коэффициентами из произвольного поля и т. д.
Понятие многочлена с содержанием 1, фигурирующее в приведенных выше леммах Гаусса, в особенности используется при исследовании колец многочленов от большого числа переменных.
ПРИЗНАКИ НЕРАЗЛОЖИМОСТИ
117
Если К — поле, то многочлен / из К [*!, ..., хп] называется многочленом с содержанием 1 относительно х1г ..., хп-и если его содержание как многочлена с коэффициентами из целостного кольца К [хх, ] равно 1, т. е. если он не имеет дели-
телей, отличных от констант и зависящих лишь от х1, ..., хп^.
Задача 1. Обратимыми элементами кольца © [х] являются лишь обратимые элементы кольца ©.
Задача 2. Доказать, что в разложении на множители произвольного однородного многочлена участвуют лишь однородные многочлены.
Задача 3. Доказать, что определитель
Д =
хп ... х1п
Хп1
'-л/г
неразложим в кольце многочленов © [хп хпп]. (Фиксировать произвольную
переменную, скажем, хп, и показать, что многочлен Д имеет содержание 1 относительно остальных переменных.)
Задача 4. Указать способ, который позволил бы выяснить, обладает ли произвольно заданный целочисленный многочлен делителями первой степени или нет.
Задача 5. Доказать неразложимость многочлена
X* — Х2+1
в кольце многочленов от одной переменной х с целыми коэффициентами. Разложим ли этот многочлен над полем рациональных чисел? Разложим ли он над кольцом целых гауссовых чисел?
§ 31. Признаки неразложимости
Пусть ©—-целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на множители, и пусть
f(x) = a0 + a1x+... + anx"
— произвольный многочлен из кольца © [х]. Нижеследующая теорема позволяет во многих случаях выяснить вопрос о неразложимости f (х):
Теорема Эйзенштейна. Если в © существует простой элемент р, для которого
(р),
щ = 0 (р) для всех і С п, а0 0 (р2),
то многочлен / (х) неразложим в кольце © [х] с точностью до постоянных множителей; другими словами, многочлен f (х) неразложим в кольце ? [х], где ? — поле частных кольца @.
Доказательство. Если / (х) разложим, то
f(x)=g(x)h(x),
Г
g(*) = 2]Mv> о
S
h (*)=2j cv*v>
о
/•>0, s>0, r + s = n,
118
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ГЛ. V
и тогда
а0 = Ь0с0, а0 = 0 (р).
Отсюда либо 60 = 0(р), либо с0 = 0(р). Пусть, скажем, 60 = 0(р). Тогда Со^О(р), так как иначе
а0 = Ь0с0 = 0 (р2).
Не все коэффициенты многочлена § (х) делятся на р, потому что в противном случае произведение / (х) = § (х) Л (х) делилось бы на р и все коэффициенты, в частности ап, делились бы на р, что противоречит условию. Пусть Ь( — первый коэффициент в ? (х), который не делится на р (0<!й=л<и).
Тогда
а/==0(р),
Ь1-1 = 0 (р),
Ьо = 0 (р),
и, следовательно,
fyco = 0 (р), с0 ^ 0 (р),
6, = 0(р),
что противоречит условию.
Таким образом, многочлен / (х) является неразложимым с точностью до постоянных множителей.
Пример 1. Многочлен хт — р (р — простое число) в кольце целочисленных многочленов (и тем самым в кольце многочленов с рациональными коэффициентами) неразложим. Следовательно, "Ур (т> 1, р — простое число) — иррациональное число.
Пример 2. Многочлен / (х) — хР~г + хГ-2 +... + 1 при простом числе р является левой частью «уравнения деления круга». Поставим и здесь вопрос о разложимости над целыми (или, что по существу то же самое, над рациональными) числами. Признак Эйзенштейна применить непосредственно здесь нельзя, но можно поступить следующим образом. Если бы многочлен / (х) был разложим, то таким же был бы и многочлен /(х+1). Имеем
(„и,,-, *"+(?)
ПХ+1)- (*_!_])-—? ----------------------х
= ХР-i + хР-* + ... + (рР_
Все коэффициенты, кроме коэффициента при хР, делятся на р, потому что в формуле для биномиального коэффициента
Р\ Р(Р—!)•••(? —1 + 1) і) і!
при і <р числитель делится на р, а знаменатель нет. Кроме того, постоянный член ( не Делится на р2. Следовательно, / (х+1) — неразложимый много-
член, а потому неразложим и / (х).
Пример 3. То же самое преобразование приводит многочлен / (х) = х2 + 1 к виду
/ (х+ 1) = х2 + 2х + 2
и тем самым приводит к решению вопроса о разложимости.
РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТГЛИ В КОНЕЧНОЕ ЧИСЛО ШАГОВ
119
~ . Г1 т---------
Задача 1 Показать иррациональность числа у рур2... рг, где pf, ... ... , рг — различные простые целые числа и m> 1.
Задача 2. Показать неразложимость многочлена
в кольце Р [лг, у], где Р является произвольным полем, в котором + 1 Ф—!• Задача 3. Показать неразложимость многочленов
х4+1, хв-|-л;3-|-1
в кольце целочисленных многочленов.
В своей основе теорема Эйзенштейна опирается на то, что равенство
f(x)=g(x)h(x)
превращается в сравнение по модулю р2:
f(x)=g(x)h(x),
а это последнее приводит к противоречию. В многочисленных других случаях оказывается в равной степени возможным доказать неразложимость переходом от равенств в данном кольце к сравнениям по модулю некоторого элемента q в кольце S и выяснением, является ли данный многочлен разложимым по модулю q. В частности, если @ — кольцо целых чисел Z, то в кольце классов вычетов по модулю целого числа q есть лишь конечное число многочленов заданной степени; поэтому есть лишь конечное число возможностей разложения многочлена /(х) по модулю q, которые легко проверить. Если окажется, что f (х) неразложим по модулю q, то / (х) был неразложим и в кольце Z [х], но в противном случае можно доказать неразложимость, если извлечь из разложимости многочлена по модулю q некоторую дополнительную информацию, причем, если в качестве q взять какое-либо простое число, то можно воспользоваться теоремой об однозначном разложении многочленов по модулю этого простого числа (§ 18, задача 3).
