Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
при котором аА+1 будет переходить в pfc+1.
Таким способом, шаг за шагом, начиная с & = 0, мы приходим к искомому изоморфизму
Д (^i> • ? • > Д (Pi* • • •» Рп)ч
при котором каждое а; переходит в рг.
Если, в частности, Д = Д и заданный изоморфизм Д^Д оставляет каждый элемент из Д на месте, то f=f и продолженный изоморфизм
Д(аь ..., ал)^Д(Р!, ..., Р„)
также оставляет неподвижными все элементы из Д, т. е. оба поля разложения для f (х) оказываются эквивалентными. Следовательно, поле разложения произвольного многочлена f (х) определено однозначно с точностью до эквивалентности.
Отсюда следует, что все алгебраические свойства корней не зависят от способа построения поля разложения. Например, разлагается ли многочлен над полем комплексных чисел или в результате символического присоединения, — «по существу», т. е. с точностью до эквивалентности, поле разложения будет одним и тем же.
В частности, каждый корень многочлена f (х) обладает кратностью, с которой он входит в разложение
f{x)^{x-a1) ... (х — ап).
Кратные корни имеются тогда и только тогда, когда f (х) и /' (х) имеют общий делитель над полем разложения, отличный от константы (§ 28). Наибольший общий дели:ель f (х) и f (х) над произвольным расширением является, однако, таким же, каков наибольший общий делитель в исходном кольце Д[л:] (§ 17, задача 1). Тем самым, с помощью построения наибольшего общего делителя f (х) и f (х) в кольце Д [л:] можно выяснить, есть ли у f (х) кратные корни в соответствующем поле разложения.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ
149
Два поля разложения одного и того же многочлена, содержащиеся в некотором поле й, являются не только эквивалентными, но даже равными. Действительно, в этом случае совпадают два разложения над Й:
f(x) = (x-a1) ... (х — а„), f(x) = (x -РО ... (х-Р„),
и из теоремы об однозначном разложении на множители в й [х] следует, что с точностью до порядка следования множители должны совпадать.
Нормальные расширения. Расширение 2 поля А называется нормальным над полем А или расширением Галуа, если оно, во-первых, алгебраично над А и, во-вторых, каждый неразложимый в AM многочлен g(x), обладающий в 2 хоть одним корнем а, разлагается в 2 М на линейные множители.
Поля разложения, построенные выше, являются нормальными в соответствии со следующей теоремой:
Расширение, получающееся из А присоединением всех корней одного или нескольких, или даже бесконечного множества многочленов из AM- является нормальным.
Сначала мы можем свести случай бесконечного множества многочленов к конечному множеству, потому что каждый элемент а из поля зависит лишь от корней конечного множества заданных многочленов и мы можем при доказательстве нормальности, рассматривая разложение неразложимого многочлена, один из корней а которого содержится в данном поле, ограничиться конечным множеством этих корней.
Затем случай конечного множества многочленов можно свести к случаю одного-единственного многочлена, для чего надо все данные многочлены перемножить и присоединять корни произведения—это то же самое, что присоединять корни сомножителей.
Пусть, таким образом, 2=А(аг, ..., ап), где av — корни некоторого многочлена / (х), и пусть неразложимый в А [х] многочлен g(x) имеет в 2 корень р. Если g(x) разлагается в 2 неполностью, то мы можем присоединить к 2 еще один корень Р' многочлена g(х) и получить поле 2 (Р'). Тогда, так как Р и Р' сопряжены,
А(Р) = А(Р').
При этом изоморфизме элементы из А и, в частности, коэффициенты многочлена f (х) переходят в себя. Присоединим теперь слева и справа все корни многочлена f (х); тогда можно будет продолжить изоморфизм:
А (Р, о&1, ..., = А (Р , oij, ..., о:л),
где а; переходят вновь в а,, быть может, в другом порядке.
150
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Элемент р — рациональная функция от аи ..., ап с коэффициентами из А:
Р = г(а1( .... а„),
и это рациональное соотношение сохраняется при любом изоморфизме. Следовательно, Р' также является рациональной функцией от ах, ..., ап и принадлежит полю 2, что противоречит условию.
Обратная теорема. Любое нормальное расширение 2 поля А получается присоединением всех корней некоторого множества многочленов и, если оно конечно, — присоединением корней даже конечного множества многочленов.
Доказательство. Пусть поле 2 получено присоединением некоторого множества ЭЛ алгебраических величин. (В общем случае можно положить ЭЛ = 2; в случае конечного расширения ЭЛ можно считать конечным.) Каждый элемент из ЭЛ удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению / (х) = 0 с коэффициентами из А, которое полностью разлагается в 2. Присоединение всех корней таких многочленов / (х) (соответственно, если таковых лишь конечное число, то всех корней их произведения) дает то же самое, что присоединение множества ЭЛ, т. е. дает все поле 2. Это и требовалось доказать.
Неразложимое уравнение / (х) = 0 называется нормальным, если поле, получающееся присоединением одного из корней этого уравнения, является нормальным, т. е. если /Дх) полностью разлагается.
Задача 1. Если и Я нормально над Д, то Я нормально и
