Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 66

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 247 >> Следующая

Доказательство. Каждый изоморфизм над Д должен переводить элемент 0 в сопряженный с ним элемент 0' из Q. Выберем Й так, чтобы f(x) разлагался над й на линейные множители;
т) Выражение «первого рода» восходит к Штейницу. Я предлагаю слово «сепарабельный», которое лучше отражает тот факт, что все корни многочлена / (х) простые.
162
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
тогда окажется, что элемент 6 имеет ровно т. сопряженных элементов 9, 6', ... При этом, как бы ни выбиралось поле П, элемент 9 не будет иметь в нем более т сопряженных. Заметим теперь, что каждый изоморфизм Д (9) ^ А (9') над Д полностью определяется заданием соответствия 9(—»-6'. Действительно, если 6 переходит в 9' и все элементы из Д остаются на месте, то элемент
2 ак№ (ак е Д)
должен переходить в
2 м'\
а этим определяется изоморфизм.
В частности, если 9 — сепарабельный элемент, тот = яи, следовательно, число изоморфизмов над основным полем равно степени расширения.
Если имеется какое-то фиксированное поле, содержащее все рассматриваемые поля, в котором содержатся все корни каждого уравнения /(х) = 0 (как, например, в поле комплексных чисел), то в качестве П можно раз и навсегда взять это поле и поэтому отбросить добавление «внутри некоторого П» во всех предложениях об изоморфизмах. Так всегда поступают в теории числовых полей. Позднее мы увидим, что и для абстрактных полей можно построить такое поле П.
Задача 1. Если П — поле характеристики р и х — переменная, то уравнение гр — х=0 в кольце П (х) [г] неразложимо, а определяемое им расширение П (х1/р) несепарабельно над П (х).
Задача 2. Построить изоморфизмы над полем рациональных чисел (С):
а) поля корней пятой степени из единицы;
б) поля 03 (ф 2).
Обобщением приведенной выше теоремы служит следующее утверждение: Если расширение 2 получается из Д последовательным присоединением т алгебраических элементов аг, ат, причем каждое из а; является корнем неразложимого над Д (ах, ..., а/__х) уравнения редуцированной степени п[, то
т
расширение 2 имеет ровно П изоморфизмов над А и ни в одном расширении
1
нет большего числа таких изоморфизмов поля 2.
Доказательство. Для т= 1 теорема уже была доказана выше. Предположим ее справедливой для расширения 2х = Д(ах, ..., ат_х): в некотором
т— 1
подходящем расширении есть ровно Д л) изоморфизмов поля 2Х над Д.
1
т — 1
Пусть 2х^ — один из этих Д п1 изоморфизмов. Утверждается, что в под-
1
ходящим образом выбранном поле й он может быть продолжен до изоморфизма 2 = 2Х (ат) 2 = 2х (ат) не более чем п'т способами.
Элемент ат удовлетворяет некоторому уравнению Д (х) = 0 над 2х с п'т различными корнями. С помощью изоморфизма 2х I—»? 2х многочлен /у (х) переводится в некоторый многочлен /х (х). Но тогда /х(х) в подходящем расширении
§ 44] СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ 163
имеет опять-таки п'т различных корней и не больше. Пусть ат — один из этих корней. В силу выбора элемента ат изоморфизм 2Х ^ 2х продолжается до изоморфизма 2Х (ат) 2х (ат) с ат >—»- ат одним и только одним способом: действительно, это продолжение задается формулой
2 сА ^ 2 еА-
Так как выбор элемента ат может быть осуществлен п'т способами, существует п'т продолжений такого сорта для выбранного изоморфизма 2Х |—*. 2Х.
т — 1
Так как в свою очередь этот изоморфизм может быть выбран Д п[ способами.
1
то всего существует (в том поле ?2, в котором содержатся все корни всех рассматриваемых уравнений)
т — 1 т
П пГпт=аЛп1 1 1
изоморфизмов расширения 2 над полем Д, что и требовалось доказать.
Если п/ —полная (нередуцированная) степень элемента а/ над Д (ах, ... ..., а/_х), топ,- равно степени расширения Д (ах, ..., а/) поля Д(а], ... а/_х);
т
следовательно» степень (2 : Д) равна Д П;,,Если сравнить это число с числом
1
т
изоморфизмов Дп/, ТО получится следующее предложение:
1
Число изоморфизмов расширения 2 = Д(ах ат) над Д (в некотором
подходящем расширении ?2) равно степени (2 : Д) тогда и только тогда, когда
каждый элемент <%1 сепарабелен над полем Д (аг сс/-х)- Если же хотя бы
один элемент а/ несепарабелен над соответствующим полем, то число изоморфизмов меньше степени расширения.
Из этой теоремы сразу получается несколько важных следствий. Прежде всего теорема утверждает, что свойство каждого элемента а/ быть сепарабельным нЗд предыдущим полем есть свойство самого расширения 2 независимо от выбора порождающих элементов а/. Так как произвольный элемент р поля может быть взят в качестве первого порождающего, элемент р оказывается сепарабельным, если все а/ являются таковыми. Итак:
Если к полю Д последовательно присоединяются элементы аъ ..., ап и каждый элемент щ оказывается сепарабельным над полем, полученным присоединением предыдущих элементов ах, ........а/_х, то расширение
2 = Д (ах а„)
сепарабельно над Д.
В частности, сумма, разность, произведение и частное сепарабельных элементов сепарабельны.
Далее, если р сепарабелен над 2, а поле 2 сепарабельно над Д, то элемент р сепарабелен над Д. Это объясняется тем, что р удовлетворяет некоторому уравнению с конечным числом коэффициентов ах ат из 2 и, следовательно, сепарабелен над Д (ах, ..., ат). Тем самым сепарабельно и расширение
Предыдущая << 1 .. 60 61 62 63 64 65 < 66 > 67 68 69 70 71 72 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed