Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Если к = \\ г і — разложение числа к на взаимно простые мно-
жители, то последовательным применением этого рассуждения из полученной формулы выводим равенство:
т
ф (я*) — д'1 — <7”-1 = д'1'1 (<7 — 1) = ^ (1 •
(1)
Ф (к) = ф (г) ф (5).
т
Ф (к) = ф (/у) ф (г2)... ф (гт),
т. е. в соответствии с (1)
'(</х-1)<722 ‘(?2-!)•••?> ’(7т-1) =
х) Согласно задаче 3 из § 17 число ф (к) равно количеству натуральных чисел, взаимно простых с Л и не превосходящих Л. Функцию <р (К) называют эйлеровой ф-функцией.
154
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Мы получили:
Число примитивных корней к-й степени из единицы равно
т
1
Положим g = ^f{h). Примитивные корни /г-й степени из единицы обозначим через ..., Они являются корнями многочлена
{х - (х - У... (х - у = Фл (х).
Имеем
х*-1=ПфЛ*), (2)
где й пробегает положительные делители числа /г1). Действительно, каждый корень й-й степени из единицы является примитивным корнем й-н степени из единицы ДЛЯ ОДНОГО и только для одного положительного делителя й числа й, так что каждый линейный множитель многочлена хн — 1 входит в один и только в один из многочленов Фа (х).
Формула (2) определяет многочлен Фа(х) одозначно, потому что из нее прежде всего следует, что
Ф, (х) = X — 1,
и если Фа известен для всех положительных й, то Фл определяется с помощью деления из (2).
Поскольку такие деления осуществляются с помощью алгоритма деления в кольце целочисленных многочленов одной переменной х, имеет место следующее утверждение:
Каждый многочлен Фл (х) является целочисленным многочленом и не зависит от характеристики поля П (если только й не делится на эту характеристику).
Многочлены Фл (х) называются многочленами деления круга. Примеры. Для каждого простого числа <7
х?-1 =(х-1)(х9~1 + х9-2+ ... +х+1)
и, следовательно,
Ф?(х) = х?"1 + х?-2+ ... + х + 1.
Более общо,
ф^+1(х) = х('?-1)«г + х^-2)^+ ... +Х*Ч1.
Точно так же
X6 — 1 = (х — 1) (х2 + Х + 1) (Х + 1) (х2 — Х+ 1),
!) Символ а | Ь означает, что а является делителем числа Ь (читается «а делит Ь»).
ПОЛЯ ГАЛУА
155
и, следовательно,
Ф6 (х) = X2 — X +1 •
Многочлен Фл (я) может оказаться разложимым, например, в произвольном поле характеристики 3 имеет место разложение:
Ф8{х) = хіф\ =(х2 — х — \)(х2 + х—\).
Позднее, однако, мы видим (§ 58), что в простом поле характеристики нуль многочлен Фл (х) неразложим, в силу чего все примитивные корни /г-й степени из единицы сопряжены. В § 31 на основе теоремы Эйзенштейна мы выяснили, что такая ситуация складывается всякий раз, когда /г —простое число; для Ф$=хі-\-1 и Ф12 = х4, — х2 -+- 1 это утверждение составляло содержание задачи 3 из § 31 и задачи 5 из § 30.
Часто оказывается полезной следующая теорема:
Если ? — корень /г-й степени из единицы, то
і Л (? = 1)
1 -1- Г _1- ?2 Г 1?А-1 = / ^ ’
1- ... Э-Ь | 0 (^1).
Доказательство получается немедленно из формулы суммы геометрической прогрессии: для ? Ф 1 имеем
Задача 1. Поле корней к-й степени из единицы для нечетного к совпадает с полем корней 2Л-Й степени из единицы.
Задача 2. Поле корней третьей и четвертой степени из единицы над полем рациональных чисел квадратично. Выразить эти корни из единицы через квадратные корни.
Задача 3. Поле корней восьмой степени из единицы квадратично над полем гауссовых чисел АЗ (!). Выразить примитивный корень восьмой степени из единицы с помощью квадратного корня из какого-либо элемента из (Е) (г).
Задача 4. Корни п-й степени из единицы в произвольном поле К образуют циклическую группу, порядок которой делит п.
§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела)
Среди простых полей характеристики р мы уже встречали поля из конечного числа элементов. Конечные поля называются полями Галуа по имени их первого исследователя Эвариста Галуа. Прежде всего, мы установим несколько общих свойств.
Пусть А — поле Галуа и ц — число его элементов.
Характеристика поля А не может быть равна нулю, потому что иначе в А содержалось бы простое поле П характеристики нуль, состоящее из бесконечного числа элементов. Пусть р — характеристика данного конечного поля. Простое поле П изоморфно тогда кольцу классов вычетов кольца целых чисел по модулю р и поэтому содержит р элементов.
156
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Так как в А вообще есть лишь конечное число элементов, в этом поле существует наибольшая система из линейно независимых над П элементов аь ап. Тогда п —степень расшире-
ния (А: П) и каждый элемент из А приобретает вид
4“ ••• (1)
где коэффициенты С; из поля П однозначно определены.
Для каждого коэффициента с( есть р возможных значений; следовательно, имеется в точности рп выражений вида (1). Так как эти выражения и дают элементы поля, о котором идет речь, мы получаем равенство
Я — Рп-
Итак, доказано: число элементов конечного поля является степенью характеристики р; показатель этой степени равен степени расширения (А: П).
Любое тело после отбрасывания нуля превращается в некоторую мультипликативную группу. В случае поля Галуа эта группа абелева и имеет порядок 9 — 1. Но порядок произвольного элемента а тогда должен быть делителем числа 9 — 1; следовательно,
