Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
а«-1 = 1 для каждого а^О.
В этом случае уравнение
а4 — а = О
имеет корнем и а = 0. Следовательно, все элементы поля являются корнями многочлена хч—х. Если аь ..., а? —элементы поля, то х9 — х делится на
П <*-«*)?
1
В силу равенства степеней получается, что
хч — х — Р[ (х — а{).
I
Следовательно, А состоит из всех корней одного-единственного многочлена хч — х, которые присоединяются к полю П. Этими условиями поле А определяется однозначно с точностью до изоморфизма (§ 40). Следовательно,
При заданных числах р и п все поля из рп элементов изоморфны. Мы покажем теперь, что для каждого « > 0 и для каждого р действительно существует поле ИЗ 9 — рп элементов.
Будем исходить из простого поля П характеристики р и построим над П поле, в котором многочлен хч — х полностью разлагается на линейные множители, В этом поле рассмотрим мн©*
ПОЛЯ ГАЛУА
157
жество корней многочлена хч — х. Последнее является полем, потому что из хрП = х и урП = у согласно задаче 1 из § 41 следует, что
так что разность и отношение двух корней рассматриваемого многочлена вновь являются его корнями.
Многочлен хч —х имеет только простые корни, потому что его производная, ввиду сравнения <7== 0 (р), равна
а — 1 не есть нуль. Множество корней является, следовательно, множеством элементов поля из q элементов.
Мы доказали:
Для каждой степени простого числа q — рп (п > 0) существует одно и с точностью до изоморфизма только одно поле Галуа из q элементов. Эти элементы являются корнями многочлена Xя — х.
Поле Галуа из рп элементов в последующем будет обозначаться через GF (рп).
Положим q—\—h и заметим, что все отличные от нуля элементы поля Галуа являются корнями многочлена xh — 1, т. е. корнями h-й степени из единицы. Так как hup взаимно просты, для этих корней из единицы имеет место все сказанное в предыдущем параграфе:
Все отличные от нуля элементы поля являются степенями некоторого примитивного корня h-й степени из единицы. Или: мультипликативная группа поля Галуа циклична.
Если С — примитивный корень h-й степени из единицы в Д = — GF (рп), то все ненулевые элементы из А являются степенями элемента ?. Отсюда следует, что Д = П(?) и А является простым расширением поля П. Степень элемента ? над П равна, конечно, степени расширения п.
Этой теоремой строение конечных полей описывается полностью.
В дальнейшем нам понадобится следующая теорема:
Поле Галуа характеристики р содержит вместе с каждым своим элементом а ровно один корень р-й степени из а.
Доказательство. Для каждого элемента х в поле существует его р-я степень хр. Различные элементы имеют различные р-е степени, так как
(x-y)f = xrn-yrn,
а в случае у Ф 0
qxi-1- 1 = — 1,
хР-уР = (х-у)Р.
158
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Следовательно, в поле существует столько же р-х степеней, сколько самих элементов. Поэтому все элементы являются р-ми степенями.
Наконец, определим автоморфизмы поля 2 = С/7 (/У*).
Прежде всего отображение а >—»? ар является автоморфизмом. Действительно, согласно последней теореме это отображение обратимо и
(а + Р)р = ар + рр,
(сф)Р = аррР.
Степени этого автоморфизма переводят а в ар, ар\ ..., арп — а. Тем самым мы нашли п автоморфизмов.
С другой стороны, число автоморфизмов не может быть больше п. Произвольный автоморфизм должен переводить примитивный корень ? в сопряженный элемент, т. е. в корень того же самого многочлена, который обращается в нуль и на ?. Любой многочлен степени п имеет, однако, не более п корней. Определенные выше п автоморфизмов со—*-ар являются, следовательно, единственно возможным и.
Теоремы, справедливые для полей С/7 (рп), в частном случае п = 1 становятся теоремами о кольце классов вычетов 2/(р) и совпадают с теоремами, известными из элементарной теории чисел. Именно:
1. Сравнение по модулю р имеет самое большее столько же корней по модулю р, какова его степень.
2. Теорема Ферма:
ар-г == 1 (р) для йе?0(р).
3. Существует «первообразный корень ? по модулю р» —такое число, что любое число Ь, взаимно простое с р, сравнимо по модулю р с некоторой степенью числа ?. (Иначе: группа классов вычетов по модулю р, отличных от нуля, является циклической.)
4. Произведение всех отличных от нуля элементов аъ а2,
..., ак поля б/7 (рп) равно —1, так как
Н
хн— 1 = ]^[ {х — ау).
1
Для п~ 1 это дает теорему Вильсона:
(р- 1)! ^ — 1 (р).
Задача 1. Каждое подполе поля ОР (рп) является полем 6Р (рт), где степень т является делителем числа п. Для каждого делителя т числа п существует ровно одно подполе СР (рт) в 6Р (рп), элементы а которого определяются равенством
арт — а.
СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
159
Задача 2. Если г взаимно просто с рп—1, то каждый элемент из GF (рп) является г-й степенью. Есл ' г — делитель числа рп—1, то r-ми степенями в GF (рп) являются те и только те элементы а, для которых
Сформулировать результат применительно к теоретико-числовому случаю («/•-я степень остатка»).
Задача 3. Если простой идеал р в коммутативном кольце и обладает лишь конечным числом классов вычетов, то о/р — поле Галуа.
Задача 4. Рассмотреть, в частности, кольца классов вычетов по простым идеалам (1+0’ Н). (2 + 0> (7) в кольце целых гауссовых чисел.
