Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
&{аъ .... аА) = Д(0).
Доказательство. Докажем теорему сначала для двух элементов а, р, из которых по крайней мере р сепарабелен. Пусть f(x) = 0 — неразложимое уравнение для элемента ос и g (х) = 0 — неразложимое уравнение для элемента р. Перейдем к полю, в котором f (х) и g(x) полностью разлагаются. Пусть ось ..., безразличные корни многочлена / (х), а ра, р^ —корни многочлена g(x). Пусть аг = а, Р; = Р-
Мы можем предположить, что поле А бесконечно; в противном случае поле А (а, Р) также было бы конечным, а для конечных полей существование примитивного элемента (даже примитивного корня из единицы, степенями которого являются все ненулевые элементы поля) уже было доказано в § 43.
Для k-Ф 1 имеет место неравенство Pa^Pi. поэтому уравнение
ос/ хРа =z ОС; “I- xPi
при каждом i и каждом k Ф 1 имеет самое большее один корень х в А. Выберем элемент с отличным от всех корней этих линейных уравнений; тогда для всех i и k Ф 1
~t~ ^Р* ОС; ^Pl-
Положим
6 = ocj + cPj = а + ср.
Тогда 6 является элементом поля А (ос, Р). Докажем, что 6 обладает свойством искомого примитивного элемента: А (ос, Р) = А (6). Элемент р удовлетворяет уравнениям
g(P) = 0,
/(0-ср)=/(а) = О,
коэффициенты которых лежат в А (6). Многочлены g(x), f(Q—cx) имеют общим лишь корень р, потому что для остальных корней (кф\) первого уравнения имеем
0 сРа ^ ОС; (l = l, ..., Г)
и, следовательно,
/ (0 — сРа) ?=0.
Элемент Р является простым корнем многочлена g(х) ; следовательно, g (х) и f (0 — сх) имеют общим лишь один линейный множитель х — р. Коэффициенты этого наибольшего общего делителя должны лежать в А (0); следовательно, Р лежит в А (0).
Является ли ОС; и гем самым все поле сепарабельным, несущественно»
НОРМЫ И СЛЕДЫ
167
Из равенства а = 0 — ф то же самое следует для а, так что, действительно, А (а, |3) =Д(0).
Тем самым наша теорема доказана для к = 2. Если считать ее доказанной для к — 1, то
А(а1, ..., ал_1)=А(т1)
и, следовательно,
А (а^ ..., аЛ) = Д(г], ал) = Д(9)
в соответствии с уже доказанной частью теоремы; тем самым теорема получается и для к.
Следствие. Каждое конечное сепарабельное расширение является простым.
Эта теорема существенно упрощает изучение конечных сепарабельных расширений, потому что строение и изоморфизмы этих расширений очень легко описываются через представление базисов
п— 1
о
Например, мы имеем теперь новое доказательство утверждения из § 44 (петит), доказанного там посредством последовательного продолжения изоморфизмов: конечное сепарабельное расширение 2 поля А имеет столько же изоморфизмов над А, какова степень (2 : А). Действительно, для простых сепарабельных расширений это утверждение уже было доказано в § 44, а, как мы теперь знаем, всякое конечное сепарабельное расширение является простым.
§ 47. Нормы и следы
Пусть 2 — конечное расширение поля А или, более общо, некоторое кольцо, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над А. Тогда элементы кольца 2 могут быть выражены через п базисных элементов «1, ...,«„ с коэффициентами из А:
и = ипсп.
Для произвольных I, и, V из 2 имеют место соотношения:
? (и + о) = Ы +
1(ис) = (1и)с (се А).
Таким образом, умножение слева на / является линейным преобразованием пространства 2 в себя. Матрица Т этого линейного преобразования в базисе иъ ..., ип определяется условиями
^U|І = (1)
168 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ (ГЛ. VI
Определитель D (Т) этой матрицы, который согласно § 25 не зависит от выбора базиса, называется регулярной нормой или просто нормой элемента t в расширении 2 поля А:
N (t) = D (Т) = Det (2)
В силу (1) норму можно определить как определитель векторов tuk относительно базиса иг, ..., и„:
N (t) = D (tux, ..., tun). (3)
След S (Т) матрицы Т согласно § 26 тоже не зависит от выбора базиса; этот элемент основного поля называется регулярным следом или просто следом элемента t расширения Б над
полем А:
S(f) = S (Г) = ?***. (4)
Если элементу t соответствует матрица Т, а элементу t' — матрица Т', то произведению tt' соответствует матрица 7Т', а сумме t-\-1'— сумма T-f-T'. Следовательно,
N {tt') = N{t)N (С), (5)
S(t + t’) = S(t) + S{i'). (6)
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что 2 явля-
ется некоторым телом, в центре которого содержится поле А, т. е. всегда
си = ис для се А, «е 2.
Каждый элемент t из 2 содержится в некотором коммутативном теле A (t) и существует минимальный многочлен
Ф (z) = zm + a1zm~1+... + am
со свойством ф (t) = 0. Строение простого расширения А (/) полностью определяется минимальным многочленом и, следовательно, норму и след элемента t в расширении А (/) можно вычислить через коэффициенты минимального многочлена.
В качестве базиса щ, ..., ип расширения A (t) выберем набор
1, t, I2 t™-1. (7)
Если базисные векторы умножить на t, то получится набор:
t, t\ t\ ..., t*. (8)
Теперь, в соответствии с (1), выразим векторы (8) через ба-
зисные векторы (7), тогда:
t= t,
/2= t\
tm 1 = tm~x,
tm = — am 1 — am_xt — am ? — ...~ axtm-x.
§ 47] НОРМЫ И СЛЕДЫ 169
Сумма диагональных элементов матрицы преобразования равна
