Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
{© = ©0Э©1Э...Э©г = &'}, (1)
в которой для V — 1, ..., I подгруппа ©V является нормальной в ©у-1- Число / называется длиной нормального ряда. Факторгруппы носят название его факторов. Необходимо заметить
следующее: длина есть не число членов ряда (1), а число факторов ©Г-!/©г.
Другой нормальный ряд
{© = & = ... = &* = <?} (2)
называется уплотнением первого ряда, если все подгруппы ®г из (1) встречаются и в (2). Например, для группы (§ 6) ряд
{@4 дэ 314дэ 2?4 дэ (?}
(см. § 9, задача 4) является уплотнением ряда
{@4 =дз =дз ?}.
В нормальном ряде любой член может повторяться сколь угодно много раз: ©( = ©л, = ... = ©*,. Если этого не происходит, говорят о нормальном ряде без повторений. Нормальный ряд
НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ
177
без повторений, который без повторений нельзя уплотнить, называется композиционным. Например, в симметрической группе @3 ряд
{@3 813 =э (?}
является композиционным, а в группе композиционным будет ряд
{@4 =э 314гэ234 =э {1, (12) (34)} Г)®}.
В обоих случаях исключена возможность дальнейших уплотнений, потому что индексы последующих нормальных подгрупп в предыдущих подгруппах являются простыми числами. Однако существуют и группы, в которых все нормальные ряды обладают уплотнениями; такие группы не имеют, следовательно, композиционных рядов. Примером может служить любая бесконечная циклическая группа: если в ней задан произвольный нормальный ряд без повторений
=3 @1 7Э . . . 7Э @/-1 ГЭ (?},
и ©/-!, например, имеет индекс т, т. е. б>щ1 = {а'”}, то между ®/-1 и (? всегда есть еще одна подгруппа {а2т} индекса 2т.
Нормальный ряд является композиционным тогда и только тогда, когда между двумя любыми его членами ©?_г и ©V нельзя включить какую-либо отличную от ©V х нормальную подгруппу, или, что согласно § 50 то же самое, когда группа ©^/(^ проста. Простые факторы ©у-5/©у композиционного ряда называются композиционными. В обоих приведенных выше композиционных рядах все композиционные факторы являются циклическими подгруппами порядков 2, 3, соответственно 2, 3, 2, 2.
Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы ©„ г/©? одного из них могут быть отображены изоморфно на переставленные в определенном порядке факторы другого. Например, в циклической группе {а} порядка 6 ряды
{{«}, I«2}- ®}. {М. М, €}
изоморфны, потому что факторы первого ряда являются циклическими порядков 2, 3, а факторы второго ряда — циклическими порядков 3, 2. Для обозначения изоморфизма нормальных рядов мы будем в дальнейшем использовать знак Если цепь нормальных подгрупп
{© Э ©! э ...}
заканчивается нормальной подгруппой 14 группы ©, отличной от 1!:, то говорят о нормальном ряде группы © над подгруппой Ш;
178
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
такому нормальному ряду соответствует нормальный ряд {©/41 22 ©*/41 Э . . . 22 41/41 = (?}
факторгруппы ©/41, и наоборот. Факторы второго ряда, согласно второй теореме об изоморфизме, изоморфны факторам первого. Если нормальные ряды
{©Э@1Э...Э©Г = ®}
{© = & = ... = ?, = ?}
изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго. Действительно, каждые фактор ©^/^Л- изоморфен вполне определенному фактору фц-х/Т)^; тем самым каждому нормальному ряду дтя ©^/©д, соответствует изоморфный нормальный ряд для ф^-х/фц, а потому и каждому нормальному ряду группы ©?_х над подгруппой ©„ соответствует изоморфный ряд подгруппы фц-х над подгруппой фд.
Теперь мы можем доказать основную теорему о нормальных рядах, принадлежащую О. Шрайеру:
Два произвольных нормальных ряда произвольной группы ©:
{®Э@1Э@2Э...2®г= ?},
{® = фх Э фа = ... Э ф, = <?}
обладают изоморфными уплотнениями'. {@2...2@12...20а2.,.э?}^
{© Э .. . Э фх Э .. . Э ф2 3 . . . Э (?}.
Доказательство. Для г = 1 или 8=1 теорема очевидна, потому что в этом случае один из рядов имеет вид {© э ©} и,
следовательно, другой является его уплотнением.
Докажем сначала эту теорему для 8 = 2 индукцией по г, а потом для произвольного 8 индукцией по в.
Для 8 = 2 второй ряд выглядит так:
|@2§3 ?}.
Положим 2) = ©хПФ и ^ = ©хф; тогда 5] и 2) — нормальные подгруппы в ©. Конечно, может оказаться, что фЗ = © или 2) = ©. По предположению индукции, ряды длины г — 1 и длины 2
{©1 2 @2 2 ... 2 ©,. = (?} и {©хЭ2)^(?}
обладают изоморфными уплотнениями:
{©! Э . . . 22©2 2 .. . Э ©} 22 {©! 2 . .. Э 2) 2 .. . 2 (?}. (3)
В силу первой теоремы об изоморфизме
ф/ф^©х/2) и ф/©!92ф/2);
§ 51] НОРМАЛЬНЫЕ И КОМПОЗИЦИОННЫЕ РЯДЫ 179
следовательно,
Э ©, = 3) 3 ©} ^ Э^э3)2 (?}. (4)
Правая часть в (3) задает уплотнение левой части из (4), для которого можно найти изоморфное уплотнение правой части:
^{*Р2..,2^2®2.,.25}. (5)
Из (3) и (5) следует изоморфизм
{© э ф э ©г з ... з ©г э ... э (?}
^{0Э'|2...2>§23)2„.2б),
чем и доказывается теорема для случая 5 = 2.
В случае произвольного в согласно доказанному мы можем так уплотнить ряд {© Э з ...}, чтобы он стал изоморфным некоторому уплотнению ряда {й 2 ф, Э ?}:
{© Э .. . =©! Э ... Э ©2 э ... э (?} =
^{©Э ... 2^! Э ... (6)
