Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
1ГЛ. VII
Допустимыми являются те подгруппы, которые вместе с каждым своим элементом а содержат также и все элементы сасг1, т. е. нормальные подгруппы.
2. Пусть операторами служат всевозможные автоморфизмы группы 03. Допустимыми тогда будут те подгруппы, которые при каждом автоморфизме переходят в себя; такие подгруппы называются характеристическими.
3. Пусть 03 —некоторое кольцо, рассматриваемое как группа относительно сложения. Пусть областью операторов П служит само это кольцо: произведение 6а будем понимать просто как произведение в кольце. Тогда (1) является обычным дистрибутивным законом:
г (а-\-Ь) = га + гЬ.
Допустимыми подгруппами здесь будут левые идеалы, т. е. те подгруппы, которые вместе с каждым а содержат все элементы га.
4. Из соображений удобства можно операторы 0 записывать справа от групповых элементов, т. е. вместо 6 а писать а в. Тогда (1) выглядит так:
(аЬ) 0 = ад ? ЬВ.
Если, например, элементы некоторого кольца (рассматриваемого как аддитивная группа) рассматривать как правые операторы, где «0 вновь означает произведение в кольце, то в качестве допустимых подгрупп получатся правые идеалы.
5. Наконец, часть операторов можно записывать слева, а часть — справа. Например, если в качестве области операторов брать кольцо, действующее на свою аддитивную группу умножением, то его элементы можно рассматривать как левые и как правые мультипликаторы', в этом случае допустимыми подгруппами будут двусторонние идеалы.
6. В соответствии с традицией, модулем называют всякую аддитивно записанную абелеву группу. Модуль также может иметь ту или иную область операторов, которая в этом случае называется областью мультипликаторов', ее элементы подчинены условиям:
О (а-\-Ь) = 0а + 0й.
Как правило, оказывае с я так, что областью мультипликаторов служит некоторое кольцо и
{ц + В)а = ца + Ва, )
(Щ а = ц (0а) }
(соответственно, если мультипликаторы пишутся справа, то а (г)0) — (аг)) 0). Тогда (г) — 0) а — ца — Ва и 0 • а = 0 (первый нуль — это нулевой элемент кольца, второй нуль — нулевой элемент
ОПЕРАТОРНЫЕ ИЗОМОРФИЗМЫ И ГОМОМОРФИЗМЫ
173
модуля). Если г —кольцо мультипликаторов, то говорят об с-мо-дулях или о модулях над кольцом о. Если кольцо обладает единичным элементом е, то очень часто предполагают, что этот единичный элемент одновременно является «единичным оператором», т. е. е-а = а для всех а из ©.
7. Любое (правое или левое) векторное пространство над телом К является /(-модулем.
8. Совокупность всех эндоморфизмов абелевой группы (т. е. всех гомоморфных отображений в себя) является областью операторов, которая становится кольцом, если сумму и произведение двух гомоморфизмов определить формулами (2) (где справа знак плюс означает операцию над групповыми элементами). Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов абелевой группы.
Из этих примеров становится ясным, насколько широки приложения групп с операторами.
Задача 1. Пересечение всех допустимых подгрупп является допустимой подгруппой. То же верно и для нормальных допустимых подгрупп.
Задача 2. Произведение 5133 двух перестановочных допустимых подгрупп является допустимой подгруппой. В частном случае модулей: сумма (51, ЯЗ) двух допустимых подмодулей является допустимым подмодулем,
§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы
Если © и © — группы с одной и той же областью операторов ? и задано отображение из © в ©, при котором каждому элементу а соответствует некоторый элемент а, а произведению аЬ — произведение йЬ, причем элементу 0а соответствует элемент 0а, то отображение называется операторным гомоморфизмом. Если элементы-образы составляют всю группу ©, т. е. каждому элементу из © соответствует по крайней мере один элемент из ©, то налицо гомоморфное отображение группы © на группу @. Если же каждому а соответствует ровно один а, то имеем операторный изоморфизм и пишем ©^@.
Если 91 — допустимая нормальная подгруппа в @, то элементы аЬ некоторого смежного класса й = аШ переходят при применении оператора 0 в произведения 0а ? %Ь, т. е. в элементы смежного класса 0а -91. Смежный класс 0а мы называем произведением оператора 0 и смежного класса а. Тем самым факторгруппа ©/51 превращается в группу с той же областью операторов О, а отображение а I—»• й оказывается операторным гомоморфизмом.
Обратно, если мы будем исходить из операторного гомоморфизма, то, как в § 10, получим теорему о гомоморфизме:
Если группа © отображается на группу © посредством операторного гомоморфизма, то подмножество 51 элементов из ©, которые
174
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
(ГЛ. VII
соответствуют единичному элементу из @, является в © допустимой нормальной подгруппой, а смежные классы по 9? взаимно однозначно соответствуют элементам из ©, причем это последнее соответствие —операторный изоморфизм:
@/9? = ©.
То, что 9? является нормальной подгруппой, мы знаем еще из § 10. То, что 91 — допустимая подгруппа, очевидно: если а отображается на единичный элемент ё, то 0а отображается на 0ё = <?, т. е. вместе с а элемент 0а также принадлежит группе 91. То, что соответствие между смежными классами и элементами из © взаимно однозначно, мы уже знаем; то, что это соответствие — операторный изоморфизм, следует из того, что заданное отображение ©—>-© является операторным гомоморфизмом.
