Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Д (ах, ..., ат, Р).
Наконец, имеет место следующее предложение: число изоморфизмов конечного сепарабельного расширения 2 над полем Д равно степени расширения (2 : Д).
164
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. VI
Так как в соответствии со сказанным выше рациональные операции над сепарабельными элементами вновь приводят к сепарабельным элементам (внутри некоторого расширения О поля А), то все сепарабельные над А элементы из Я составляют некоторое поле Я0- Это поле Я0 можно описать и как наибольшее сепарабельное расширение поля А внутри Я.
Если Я алгебраично над А, но не обязательно сепарабельно, то ре-я степень каждого элемента а из Я лежит в Я0, где е — показатель рассматриваемого элемента. Действительно, из рассмотрений начала этого параграфа немедленно следует, что ар удовлетворяет уравнению с попарно различными корнями. Итак,
Расширение Я получается из расширения Я0 извлечением корней ре-й степени из его элементов.
Если, в частности, Я конечно над А, то показатели е обязательно ограничены. Наибольший среди них, который мы обозначим вновь через е, называется показателем расширения Я. Степень расширения Я0 над А называется редуцированной степенью Я над Д.
Само собой разумеется, что корни ре-й степени можно получить последовательным извлечением корней р-й степени. При извлечении корня р-й степени из какого-то элемента, не имевшего в исходном поле этого корня (т. е. при присоединении корня неразложимого уравнения гр— Р=0), степень расширения умножается на р. Следовательно, в конце концов после (-кратного повторения операции извлечения корня р-й степени мы получим
(Я : А) = (Я0: Д)Р/
или
степень = (редуцированная степень) ? р/,
как в простых сепарабельных расширениях.
Задача 3. Если для некоторого конечного несепарабельного расширения числа ей/ определены, как выше, то е$/. В случае простого расширения е = /.
§ 45. Совершенные и несовершенные ПОЛЯ
Поле А называется совершенным, если любой неразложимый в А [л:] многочлен / (х) сепарабелен. Все остальные поля называются несовершенными.
Условия, при которых поле является совершенным, описываются в следующих двух теоремах:
I. Поле характеристики нуль всегда совершенно.
Доказательство. См. § 44.
II. Поле характеристики р является совершенным тогда и только тогда, когда оно вместе с каждым своим элементом содержит и корень р-й степени из него.
Доказательство. Если вместе с каждым элементом поля имеется и корень р-й степени из него, то каждый многочлен / (х), содержащий лишь степени элемента хр, является р-й степенью, так как
/ (х) = 2 ак (хр)» = 2 Х*}р = (2
т. е. каждый неразложимый многочлен является в этом случае сепарабельным, а потому само поле — совершенным.
ПРОСТОТА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ РАСШИРЕНИИ
165
С другой стороны, если в поле есть элемента, корень р-й степени из которого в поле не содержится, то рассмотрим многочлен
f (х) = хр — а.
Пусть ф (х) — неразложимый делитель многочлена f(x). После присоединения элемента у/~а=р многочлен f (х) разлагается на равные линейные множители (х — Р), т. е. ф (х), являясь делителем f(x), представляет собой некоторую степень двучлена (х — |3). Если бы ф (дг) был линейным, Т. е. ф(х) = Х—|3, то элемент Р принадлежал бы полю А, что противоречит условию. Следовательно, ф (х) = (х — р)* при k > 1 — некоторый несепарабельный многочлен над А, а потому А — несовершенное поле. Впрочем, степень многочлена ф (х) согласно § 44 обязательно делится на р, а потому в этом случае она просто равна р, т. е. ф(х)=/(х).
Из теоремы II и последней теоремы в § 43 заключаем:
Все поля Галуа совершенны.
Поле П называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен из кольца Q [х] разлагается на линейные множители. В каждом таком поле любой неразложимый многочлен линеен. Итак,
Все алгебраически замкнутые поля совершенны.
Из определения совершенного поля сразу получаются следующие две теоремы:
Каждое алгебраическое расширение совершенного поля сепарабельно над этим полем.
Для любого несовершенного поля существуют несепарабельные расширения.
Действительно, эти несепарабельные расширения получаются присоединением корня какого-нибудь неприводимого несепарабельного многочлена.
Сделанное при доказательстве теоремы II замечание о том, что в совершенном поле характеристики р каждый многочлен /(х), зависящий лишь от хр, является р-й степенью, сохраняет силу и для случая многочлена от нескольких переменных / (х, у, г,...), являющегося в действительности многочленом от хр, ур, гр, ... Это —часто используемое свойство полей характеристики р.
Задача. Каждое алгебраическое расширение совершенного поля совершенно.
§ 46. Простота алгебраических расширений.
Теорема о примитивном элементе
Выясним теперь, в каких случаях конечное расширение V] поля А является простым, т. е. получается присоединением од-ного-единственного порождающего или примитивного элемента. Ответом на этот вопрос является следующая теорема о примитивном элементе, справедливая для довольно широкого класса случаев. Ее формулировка такова;
166
ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ VI
Пусть А (ссь ..., ссл) — конечное алгебраическое расширение поля А и а2, ah —сепарабельные элементы1). Тогда А (ах, .. , щ) является простым расширением:
