Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
— следовательно, след элемента ^ в расширении А (0 равен
в (0 = — ах. (9)
Норма элемента t в расширении А (к является определителем
векторов (8);
п (0 = ?(*, /2,
Изменим этот определитель в соответствии с правилами действий над определителями. Прежде всего переставим векторы:
я(9 = (-1)т"1Я(?я, /, г2, (Ю)
После этого выразим /ш через 1, /, ..., С' 1:
^ = —ат1 - ат_^ - пш__^2 - ... - (11)
Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, поэтому из всех слагаемых в правой части (11) мы должны принять во внимание лишь первое. Тогда получится равенство:
п(0 = (-1)т~1О(-ат, 1, (2, ..., ^т1) =
= (-1)татО(1, /, /2, ..., ^-!),
или, так как определитель из базисных векторов равен единице,
п{Г) = {-\)тат. (12)
След и норма элемента I в поле А (к являются, таким образом, с точностью до знака вторым и последним коэффициентами
в минимальном многочлене ф(г).
В некотором подходящим образом выбранном расширении поля А (/) минимальный многочлен ср (г) разлагается на линейные множители:
<р(г) = (г~к) ... (г — /т) (к = к- (13)
Тогда
л (0 = (- 1)тат = кк ??? 1т, (14)
в (/) = —Й1 = ^ + 4 + • • • “Мт- (15)
Следовательно, норма и след элемента ^ в расширении А (^) над А оказываются равными произведению и сумме элементов ..., /т, сопряженных с ^ в поле разложения многочлена ф(г), причем каждый сопряженный элемент берется столько раз, сколько раз соответствующий множитель с ^ входит в разложение (13). Если элемент t сепарабелен над/ А, то каждый сопряженный элемент берется один раз.
Тем же самым методом, но только с несколько большими вычислениями, мы можем получить норму N (к и след 5 (к элемента I в расширении 2. Если вновь т — степень расширения А(^) над
170 ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ. VI
д и ? —степень расширения 2 над А (А, то п =/П? — степень расширения 2 над А. Базис расширения А (А поля А составляют степени (6). Пусть гд, ^ — некоторый базис расширения 2 поля А (?). Тогда произведения
Іід, Ад, ..., іт~Чр, Ь2, ...; 1уг, ..., іт~1и§
составляют некоторый базис поля 2 над полем А. Если умножить базисные элементы слева на * и выразить произведения вновь через этот базис, то сумма диагональных элементов окажется равной
5 (0 = (— ?Д) + ? • • + ( — аі) = § (~~ аі)>
или
5 (0=^(0- (16)
Определитель базисных элементов, умноженных на А равен
N (0 = (^і> Руц • • ?. ітиі\ • • •; • • • і =
= (_ і)?(т-і) о (А"ід, Агд, ..Г; . ..;А”гд, ...,
Вновь выразим їт через 1, А ..., іт~х и воспользуемся теоре-
мами об определителях; тогда получим
N (А = (- 1)*"а« = {(-\)тат\г
или
А(0 = п(0^. (17)
Следовательно,
Норма в расширении 2 является g-й степенью нормы в расширении А (Ї), а след является g-кpamным следа в А (7)-В силу (14) и (15) эти выводы можно записать и так:
(V (/) = (АА ... А»)*, (18)
А (А =?(^1 + ^2 + ••• + Ая)- (19)
Задача 1. Норма комплексного числа а-\-Ы равна А/ (а-\-Ы) — а2-\-Ь2,
а след равен
5 (а-{-Ы) = 2а.
Задача 2. Вычислить норму элемента a-sгbYd в квадратичном расширений Д (]Ай).
Задача 3. Норма матрицы
А — II й ^ II
~ I с й I
в кольце всех двухстрочных матриц над основным полем Д является квадратом определителя:
N (А) = (асі — Ьс)\
Глава седьмая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
Содержание. В §§ 48, 49 обсуждается некоторое обобщение понятия группы. §§ 50 — 52 содержат важные общие теоремы о нормальных подгруппах и «композиционных рядах», а §§ 53, 54 — специальные теоремы о группах подстановок, которые в дальнейшем потребуются лишь при изложении теории Галуа.
§ 48. Группы с операторами
В этом параграфе будет расширено понятие группы, благодаря чему все рассмотрения получат большую общность, нужную для дальнейших приложений (главы 17 — 19). Читатель, интересующийся лишь теорией Галуа, может спокойно пропустить ближайшие два параграфа; под группами (например, конечными группами) он может в дальнейшем подразумевать группы в прежнем смысле.
Пусть даны: во-первых, некоторая группа (в обычном смысле) АЗ с элементами а, Ь, ...; во-вторых, некоторое множество П новых объектов т], 0, ..., которые мы называем операторами. Пусть каждому б и каждому а соответствует некоторое «произведение» 6а («значение оператора 0, примененного к элементу а»); предполагается, что это произведение вновь принадлежит группе А). Далее предполагается, чго каждый оператор б «дистрибутивен», т. е.
0 (аЬ) = да ? дЬ. (1)
Иначе говоря: «умножение» на оператор 0 должно быть эндоморфизмом группы АЗ1). Если выполнены все эти условия, то @ называется группой с операторами, а й - областью операторов.
Допустимая подгруппа группы АЗ (относительно области операторов П) —это такая подгруппа ф, которая в свою очередь допускает П в качестве области операторов, т. е. если а принадлежит 4р, то каждый элемент да также должен лежать в ф. Если допустимая подгруппа является нормальной, то говорят о допустимой нормальной подгруппе.
Примеры. 1. Пусть операторами служат внутренние автоморфизмы группы АЗ:
да = сасг1.
9 Отсюда следует, что при «умножении» на 0 единичный элемент переходит в единичный, а обратный —в обратный.
172
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
