Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 71

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 247 >> Следующая

В случае аддитивно записанных групп с областью операторов с (о-модулей, идеалов в г и т. д.) операторный гомоморфизм называется гомоморфизмом модулей. Заметим, что и в этом случае 0а переходит в 0а и 0 остается неизменным. В этом и состоит разница между гомоморфизмом модулей и гомоморфизмом колец, при котором аЬ переходит в аЬ. Рассмотрим пример: два левых идеала из кольца о можно рассматривать как с-модули; произвольный операторный гомоморфизм переводит а в а и произведение га— в произведение га (г из о). Но эти же идеалы можно рассмотреть и как кольца, а кольцевой гомоморфизм сопоставляет произведению га (г из идеала) не га, а га.
Там, где в последующем речь зайдет просто о группах, будут иметься в виду группы с операторами. Под словами «подгруппы» и «нормальные подгруппы» всегда будут молчаливо подразумеваться допустимые подгруппы и допустимые нормальные нод-группы; слова «изоморфизм» и «гомоморфизм» будут означать «операторный изоморфизм» и «операторный гомоморфизм».
Задача 1. Идеалы (1) и (2) в кольце целых чисел изоморфны как модули, но не как кольца.
Задача 2. В кольце пар чисел (а1у а2) (§ И, задача 1) идеалы, порожденные элементами (1, 0) и (0, 1), изоморфны как кольца, но не изоморфны как модули.
§ 50. Две теоремы об изоморфизме
Естественный гомоморфизм, который отображает группу © на факторгруппу © = ©/91, отображает каждую подгруппу § из © на некоторую подгруппу ф из © и тоже гомоморфно. Если исходить из ф и найти в © всю совокупность $ элементов, образы которых (или смежные классы которых) принадлежат ф>, то, вообще говоря, в К окажется больше элементов, чем В ф,
ДВЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ
175
потому что вместе с каждым а из <?) множество $ содержит весь смежный класс а9'(. Обозначим через группу, которая получается из всевозможных произведений аЬ, где а —элемент из ф и Ь —элемент из 9? (ср. задачу 2 из § 48); тогда $ = 4?9? и Лр = = ЛрЗс'/ЗС С другой стороны, если $ гомоморфно отображается на Лр, то 5р изоморфна факторгруппе группы 5р по некоторой нормальной подгруппе в ф, которая состоит из элементов группы ф), соответствующих единичному элементу, т. е. тех элементов ИЗ ф), которые одновременно принадлежат и 9С Отсюда получается первая теорема об изоморфизме:
Если 91 — нормальная подгруппа группы © и $ —подгруппа в ©, то пересечение $ П 91 является нормальной подгруппой в 4р и1)
ът^мът-
Совокупность элементов, отображающихся в ^р, тогда и только тогда совпадает с Лр, когда группа вместе с каждым своим элементом а содержит и весь смежный класс а91, т. е. тогда, когда
Эти группы Лр ^ 91 взаимно однозначно соответствуют описанным группам ^=^/3? в ©. Вместе с тем каждая подгруппа ф в © соответствует подгруппе Лр => 91, состоящей из всех элементов всех содержащихся в смежных классов по подгруппе 9?. Наконец, правым и левым смежным классам по подгруппе 4р в © соответствуют правые и левые смежные классы по ф в @. Следовательно, если Лр — нормальная подгруппа в ©, то 4р — нормальная подгруппа в ©, и наоборот. Аналогичное рассуждение, с некоторыми изменениями, используется при доказательстве второй теоремы об изоморфизме:
Если @ = ©/9? и ф — нормальная подгруппа в ©, то соответствующая подгруппа 5р в © является нормальной и
@/?^(Щ. (1)
Доказательство. Если © гомоморфно отображается на @, а @, в свою очередь, на ©/.?>, то и © гомоморфно отображается на ©/<§. Следовательно, группа @/4р изоморфна факторгруппе группы © по нормальной поцгруппе, состоящей из тех элементов группы ©, которые при гомоморфизме ©->©/.?> переходят в единичный элемент, т. е. при первом гомоморфизме ©—>-© эти элементы переходят в группу ф). Этой нормальной подгруппой и является ф. Доказательство окончено.
1) В случае модулей нужно, конечно, вместо §91 писать (?!?, 91).
176
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ. VII
Изоморфизм (1) можно записать и так:
©/?=(©/адм.
Задача 1. С помощью первой теоремы об изоморфизме показать, что факторгруппа симметрической группы по четвертой подгруппе ®4 (§ 9, задача 4) изоморфна симметрической группе 23.
Задача 2. Точно так же в любой группе подстановок, в которой есть не только четные подстановки, эти последние составляют нормальную подгруппу индекса 2.
Задача 3 Точно так же факторгруппа группы движений верхней евклидовой полуплоскости по нормальной подгруппе параллельных переносов изоморфна группе поворотов вокруг некоторой точки
§ 51. Нормальные и композиционные ряды
Группа © называется простой, если в ней нет нормальных подгрупп, отличных от нее самой и единичной подгруппы.
Примеры. Группы простого порядка просты, так как порядок подгруппы должен быть делителем порядка всей группы; следовательно, в такой группе, кроме нее самой и единичной подгруппы, вообще нет подгрупп, а потому нет и нормальных подгрупп. Позднее будет доказано, что знакопеременная группа 21„ при п> 4 проста (§ 53). Любое одномерное векторное пространство является простым, потому что каждое собственное подпространство имеет размерность нуль и состоит из одного лишь нулевого вектора.
Нормальным рядом группы © называется последовательность подгрупп в ©:
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed