Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Б1. Каждый элемент группы © является произведением
g = ab, а е 31, be 33.
О)
182
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
Б2. Множители а и Ь однозначно определяются элементом g. БЗ. Каждый элемент подгруппы 2( перестановочен с каждым элементом подгруппы 23.
Из условий А следуют условия Б. Действительно, Б1 следует из А2. Условие Б2 получается так: если
ё = а1Ь1 = аф2,
то
а^хах = ЬфТх\
элемент а~]а1 должен принадлежать как 91, так и 23, а потому . в силу АЗ он оказывается равным единице; следовательно,
аг = а2, = Ьг
и установлена единственность представления (1). Условие БЗ следует из того, что аЬаг1Ь~х в силу А1 принадлежит как 2(, так и 23, а потому в силу АЗ этот элемент равен единичному.
Из условий Б следуют условия А. То, что подгруппа 21 является нормальной, получается так:
gsЖg1=abШ-1a~1 = a'i^a~1 = 'І^ [в силу БЗ].
Условие А2 следует из Б1. Условие АЗ получается так: если с —элемент пересечения 21 Г|23, то с представляется двумя способами как произведение некоторого элемента из 21 и некоторого элемента из 23:
с = 1 ? с = с ? 1.
В силу единственности [Б2] должно выполняться равенство с=1. Условие АЗ получено.
Произведение 2(23, когда оно является прямым, будет обозначаться через 2(х23. В случае аддитивных групп (модулей) пишут (21, 23) для обозначения суммы и 21 + 23 —для обозначения прямой суммы.
Если известно строение групп 21 и 23, то известно строение и группы ©, потому что любые два элемента gl=alb1 и g<l = a2b2 перемножаются путем умножения сомножителей:
g-^g2 = ala2?b^b2.
Группа @ называется прямым произведением нескольких своих подгрупп 63 = 21х X2(2 X... X 2(„, если выполнены следующие условия: А'1. Все 2К являются нормальными подгруппами в ©.
А'2. ад ... Я„ = ®.
А'З. (ад ... 2и.1)П^ = ® ад2, 3, ..., л).
Если эти условия выполнены, то группы 2^, ..., ад являются нормальными подгруппами и в их произведении 2(121а ... 21„_1, так что это произведение согласно тому же определению является прямым. Далее, 2(г21а ... 21„ х, как произведение нормальных под-
ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
183
(2)
где
Ъп = ад ... 2(л.1 = х х ... X 8t„_!.
С помощью (2) прямые произведения можно определять рекур-рентно. Если к произведению © = 23лх2(л применить определение Б, то индукцией по п получится:
Б'. Каждый элемент ц группы © однозначно представим как произведение
и каждый элемент из 21^ перестановочен с каждым элементом из 2^ (р=т^).
Из Б' в свою очередь, следуют условия А'. Действительно, положим
следовательно, каждая подгруппа 2lv является нормальной в © и
Последнее утверждение содержит нечто большее, чем усло-
Из (3) согласно первой теореме об изоморфизме следует, что
составляют нормальный ряд группы © с факторами ®v-i/(Bv = ^21Л_У1І. Если группы 2fv обладают композиционными рядами, то и © обладает композиционным рядом, длина которого является суммой длин отдельных факторов.
Задача 1. Если 0 = ЗІ X S3, 0' — подгруппа в 31 и ©'э 91, то @' = 91X®'. где 33' обозначает пересечение &' и Ш.
Задача 2. Любая циклическая группа порядка n = rs с (г, s) = l является прямым произведением своих подгрупп порядков S и г.
g = a1a2...an (av ? 91 v),
(3)
9fvn®v = ®.
виє А'З.
©/2IV^SV; @/93v = S?v
Группы
© = 2li X 2l2 x ... х91л, ©і = 9li x 2l2 x ... X 9ЇЛ-!,
(4)
©я-і = Яі, @» = ®
184
ПРОДОЛЖЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП
[ГЛ VII
Задача 3. Конечная циклическая группа является прямым произведением своих подгрупп, порядки которых являются наибольшими возможными степенями простых чисел.
Группа © называется вполне приводимой, если она является прямым произведением простых групп. В этом случае соответствующий нормальный ряд (4) является композиционным рядом. Согласно теореме Жордана — Гёльдера композиционные факторы = 21„_ т+1 определены однозначно с точностью до изоморфизма и порядка следования.
Теорема. В любой вполне приводимой группе © каждая нормальная подгруппа является прямым сомножителем, т. е. для каждой нормальной подгруппы & существует разложение © = = ?х23.
Доказательство. Из © = 5(х х21ах.. .х21„ следует, что @ = |).© = ф.?(1-3(2....-3(„. (5)
С каждым из сомножителей 213, ..., 21„ можно проделать следующую операцию: множитель либо зачеркивается, либо предшествующий ему знак • заменяется на знак х прямого произведения. Действительно, пересечение рассматриваемой группы 21* с произведением П = .?) • 213 ?... • 21*_3 является нормальной подгруппой в 21*, поэтому оно равно либо 21*, либо ?. В первом случае П П 21* = 21* и 21* ? П, т. е. множитель 21* в произведении П21* исчезает. Во втором случае произведение П - 21* является прямым: П-2(* = Пх21*.
Согласно доказанному выше произведение (5) после вычеркивания ненужных групп 21 приобретает форму прямого произведения:
© = ф X 21/ X 21/ X... X 21*.
Отсюда следует требуемое.
§ 54. Групповые характеры
Пусть © — некоторая группа и К — некоторое поле. Под характером группы © в поле К понимается любое гомоморфное отображение группы © в мультипликативную группу поля К. Другими словами: характер а группы © в поле К — это некоторая функция элементов из © со значениями в поле К, отличными от нуля, обладающая следующим свойством:
