Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Всякий раз мы будем предполагать, что представление 3) не содержит в качестве составляющего нулевое представление.
Для данной теории основными являются следующие две теоремы:
1. Если представление 3) вполне приводимо, то алгебра Л полупроста.
2. Если представление 3) неприводимо или распадается на эквивалентные неприводимые составляющие, то алгебра Л проста.
Доказательство теоремы 1. Если 91 — радикал алгебры Л, то его элементы в любом неприводимом представлении переходят в нуль. Так как 3) — точное представление, радикал 91 равен нулю.
Доказательство теоремы 2. Алгебра Л обязательно полупроста, а потому является прямой суммой простых алгебр: Л = . + д*. Согласно § 105 в любом неприводимом представ-
лении все алгебры ад, кроме какой-то одной подалгебры <ц., представляются нулем. Это утверждение остается справедливым и тогда, когда представление складывается с самим собой несколько раз. Если же представление точное, то может существовать лишь одна подалгебра аь т. е. алгебра Л проста.
Из теоремы 1 немедленно следует одна теорема Бернсайда и ее обобщение, принадлежащее Фробениусу и Шуру:
Теорема Бернсайда. В любой абсолютно неприводимой полугруппе матриц п-го порядка имеется ровно п2 линейно независимых матриц.
Обобщение. Если полугруппа матриц над полем А распадается на абсолютно неприводимые части, среди которых есть ровно в неэквивалентных порядков пх, ..., п3 соответственно, то полугруппа содержит ровно
п\ + п\ -Д... -)- п\
линейно независимых матриц над А.
Доказательство обобщения. Линейная оболочка данной полугруппы, построенная над А, является суммой 5 полных
§ 111]
ПОЛУГРУППЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
403
матричных колец порядков nlt пг, ..., ns над Л и поэтому имеет ранг п] + «?> + • • • + «!•
Над полями характеристики нуль справедлива, кроме того, Теорема о следе. Если две полугруппы могут быть переведены друг в друга взаимно однозначно и с сохранением произведения (или, более общо, если обе они являются образами представлений одной и той же абстрактной полугруппы) и если при этом следы соответствующих матриц равны, то полугруппы (соответственно представления) эквивалентны.
Доказательство. Если соответствующие друг другу матрицы Л и б объединить в новую матрицу по схеме
то получится некоторая новая вполне приводимая полугруппа Й, линейная оболочка которой является некоторой алгеброй Л. Элементы из Л являются линейными комбинациями матриц (1) и поэтому точно так же распадаются на две составляющие, каждая из которых задает представление алгебры Л. Следы этих двух представлений являются вполне определенными линейными комбинациями следов исходных матриц А и В и поэтому совпадают. Следовательно (§ 107), оба представления алгебры Л эквивалентны. Отсюда получается требуемое.
Если Л = Р, то теоремы 1 и 2 согласно § 105 непосредственно обратимы. Е1о если Л — собственное расширение поля Р, то можно высказать нечто более глубокое:
1а. Если Л — полу простая алгебра и А, —сепарабельное расширение поля Р, то каждое представление Т> алгебры Л над Л вполне приводимо.
2а. Если алгебра Л проста и центральна над Р, то каждое представление алгебры Л над Л распадается на эквивалентные неприводимые части.
Доказательство. Согласно § 104 каждое представление алгебры Л над Л связано с некоторым представлением алгебры ЛхЛ. Если алгебра Л полупроста, а Л сепарабельно над Р, то согласно § 103 алгебра ЛхЛ тоже полупроста и поэтому любое представление алгебры ЛхЛ над Л вполне приводимо. Если Л центральна и проста над Р, то алгебра ЛхЛ обязательно проста и, снова согласно § 103, каждое представление алгебры ЛхЛ над Л распадается на эквивалентные неприводимые составляющие. Тем самым доказаны оба утверждения.
Мы называем полугруппу центральной над Р, если ее линейная оболочка центральна, т. е. центр ее линейной оболочки совпадает с Р.
Если принять во внимание утверждения 1 и 2, то 1а и 2а можно сформулировать и так:
404 ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР (ГЛ. XIV
16. Вполне приводимая полугруппа линейных преобразований, над полем Р остается вполне приводимой при любом сепарабельном расширении основного поля Р.
26. Центральная неприводимая полугруппа линейных преобразований над Р остается неприводимой или распадается на эквивалентные неприводимые составляющие при произвольном расширении основного поля.
Точно так же, как 16, можно доказать и
1в. Вполне приводимая полугруппа остается вполне приводимой при любом расширении основного поля, если центр соответствующей линейной оболочки является прямой суммой сепарабельных расширений поля Р. *
§ 112. Двойные модули и произведения алгебр
Уже в § 104 мы отмечали, что любое представление алгебры @ над полем К, содержащим основное поле Р, определяет некоторое представление расширенной алгебры @к- На языке модулей представлений это означает, что любой модуль, для которого @ —область левых, а К —область правых мультипликаторов, является также и левым @к-модулем. Доказать это можно так: если @ = а!Р + .. .ЦапР и, следовательно, @к =Й1Н + . • . + алК, то умножение слева элементов и рассматриваемого модуля на элемент из @к задается равенством
