Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
у"=\Ъа~1ау==у-
а
Следовательно, каждый элемент модуля ЭЛ сравним по модулю Л не только с некоторым элементом у из Л', но и с некоторым однозначно определенным элементом у" из Л". Это означает, что
§ 108]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
389
имеет место разложение в прямую сумму
991=9? +91".
Наконец, для каждого элемента Ь из © имеем
ьу" =42 Ьа~1А'у=т 2 (аЬ1у1 (А'в>~1) в'у=ф'у ^ =*'•
а а
т. е. подпространство 9?" переводится в себя операторами Ь из ©, а это и означает, что 91" — модуль представления.
Если модуль 91" приводим, то тем же способом можно выделить меньший модуль и т. д. В конце концов будет найдено полное разложение модуля 99? в прямую сумму и, следовательно, требуемое представление. Теорема Машке доказана.
Согласно § 104 каждое представление группы © можно продолжить до некоторого представления группового кольца
Р = А:1Р —(— . . - —(— ?Т/гР;
наоборот, каждое представление группового кольца о естественным образом задает представление группы ©. Из теоремы Машке теперь следует, что каждое представление кольца о вполне приводимо. В частности, это верно и для регулярного представления, допускающего в качестве своего модуля само о. Поэтому кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов и в соответствии с § 98 (теорема 13) полупросто. Согласно § 105 минимальные левые идеалы кольца о задают все неприводимые представления.
Число абсолютно неприводимых представлений согласно § 106 равно рангу центра, а центр группового кольца, как легко проверить, состоит из всех тех сумм
Кеб, РхеЕР). (1)
%
в которых сопряженные элементы имеют одинаковые коэффициенты. Элементы, сопряженные с данным элементом а, составляют некоторый «класс». Если ка — сумма элементов этого класса, то (1) —сумма таких к,а с коэффициентами из Р. Следовательно, имеет место теорема: центр группового кольца порождается суммами классов ка. Ранг центра равен, таким образом, числу классов сопряженных элементов группы. Мы получили теорему:
Число неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.
Согласно § 105 для степеней пь ..., п$ неприводимых представлений выполняется соотношение:
390
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
Среди рассматриваемых представлений первой степени всегда есть «тождественное представление», которое каждый групповой элемент переводит в элемент 1. Если же существуют еще и другие представления первой степени, то в данной группе должны существовать собственные нормальные подгруппы с абелевой факторгруппой, потому что матрицы любого представления первой степени перестановочны между собой и образуют абелеву группу, в которую гомоморфно отображается данная группа. Наоборот, если существует собственная нормальная подгруппа с абелевой факторгруппой, то характеры этой факторгруппы задают представления первой степени. Все остальные представления имеют большую степень.
Примеры. 1. Симметрическая группа ®3. Число классов равно 3, поэтому есть всего три неэквивалентных неприводимых представления. По знакопеременной подгруппе имеем два смежных класса $0, четные и нечетные подстановки. Вот два характера факторгруппы 03/^3:
третье представление должно иметь степень 2. Возьмем в плоскости три вектора, еи е2, е3, сумма которых равна нулю; тогда перестановки этих трех векторов дадут точное представление рассматриваемой группы подстановок. Легко установить, что это представление неприводимо. Пусть е1 и е2 — базисные векторы; тогда представление выглядит так:
2. Группа кватернионов С3 — это группа восьми кватернион-ных единиц ±1, ±/, ±?, ±1. Она имеет две порождающие / и к, удовлетворяющие соотношениям:
Число классов равно 5; поэтому имеется пять представлений. Нормальная подгруппа {1, у2} определяет в качестве факторгруппы четверную группу Клейна, обладающую четырьмя характерами, дающими четыре представления. В силу соотношения
x(8o) = i. x(8i)=±i; они определяют представления первой степени. Так как
п 1 + п\ + ti\ — 6,
(1 3) е, = — <?! — е2, (1 3)е2 = е2,
(1 2 3)е1 = е2,
(1 2 3)ег = — е1 — е2,
/4 = 1, k2 = у2, kj = jsk.
пі 'Ь 4 “І- щ, 'Ь ®
§ 108]
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
391
остальные представления должны иметь степень 2. Если групповым элементам 1, /, /2, /3, k, jk, j2k, j2k сопоставить кватернионы 1, /, —1, —j, k, I, —k, —/, то получится гомоморфное отображение группового кольца о на тело кватернионов. Поэтому тело кватернионов должно быть среди двусторонних прямых слагаемых кольца о и тем самым получается разложение кольца о над полем рациональных чисел (Q,
0 — П1 + <*2 + ll3 + fl4 + П5>
где а4, а3, а3, а4 изоморфны полю (Q, а а6 изоморфно телу кватернионов. Если перейти к алгебраически замкнутому основному полю (в данном случае достаточно присоединить / = ]/—1), то тело кватернионов распадается и получается матричное представление
i 0 0 1 0 1
0 -i > k 1—* -1 0
i 0
3. Знакопеременная группа ?14 может быть исследована тем же методом, что и симметрическая группа ©3, — мы предоставляем это читателю. В результате будут найдены четыре представления степеней 1, 1, 1, 3.
