Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
4. Симметрическая группа ©4, Число классов равно 5, поэтому должно быть пять представлений. Четверная группа Клейна {1, (12) (34), (13) (24), (14) (23)} определяет факторгруппу, изоморфную группе @3, для которой мы уже нашли три представления степеней 1, 1, 2. Они задают также представления самой группы ©4 степеней 1, 1, 2. Если эти степени обозначить через пи п2, п3, то
п1 + о! -}- я| -Ь п\-\~ «з = 24,
так что
п\ + п\ = \3.
Такое равенство может иметь место лишь для «4 = 3, л5 = 3. Если мы введем четыре вектора еъ ег, е3, е4 с нулевой суммой, то подстановки этой четверки векторов дадут точное представление третьей степени группы ®4. Выберем еъ е2, е3 в качестве базисных векторов; тогда упомянутое представление выглядит так:
(1 2) ех = е2, | (1 3) е4 = е3, | (1 4)е1 = -е1-е2-е3,
(1 2)а2 = еь (1 3)е2 = е2, (1 4)е2 = е2,
(1 2)е3 = е3, ) (1 3)е3 = е1, ) (1 4)е3=е3,
(1 2 3)е1=е2,
(1 2 3) е2 = е3,
(1 2 3) е3 = е1,
и т. д.
392
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Поскольку представление точное, оно не может сводиться к представлениям первой и второй степени; следовательно, оно неприводимо. Если матрицы, представляющие нечетьые подстановки, умножить на —1, то получится новое и тоже точное неприводимое представление третьей степени, заведомо не эквивалентное предыдущему, потому что их следы различны.
Задача 1. Элемент $= ^ а группового кольца о удовлетворяет ра-
Еенствам 6« = х для Ь е &? Какой левый идеал порождает «? Какое представление соответствует этому идеалу? Какой идемпотентный элемент содержится в этом идеале?
Задача 2. Если число Л элементов группы делится на характеристику поля, то названный в задаче 1 идеал нильпотентен. Это свидетельствует о том, что условие о невозможности деления к на характеристику поля является в теореме Машке необходимым.
§ 109. Групповые характеры
Кронекерово произведение преобразований
Пусть даны два линейных преобразования А', А", переводящих некоторое векторное пространство (иъ ..., ип) в другое векторное пространство (щ, ..., от):
<4'и* = 2 ща'1к,
I
I
Построим в соответствии с § 94 произведение этих двух векторных пространств — оно будет порождаться произведениями — и положим
А (и*щ) = (А’ик) {А"XI) = 22 ЩУ1а'ска"п. (1)
< I
Определенное таким образом линейное преобразование А на произведении векторных пространств называется кронекеровым произведением преобразований и обозначается через А'хА". Элементами матрицы, соответствующей преобразованию А, будут согласно (1) произведения След матрицы А равен
2 2 «»«// = 2 • 2 «А = 5 (А') ? 5 (А").
II 1 /
Отсюда: след произведения преобразований А'хА" является
произведением следов преобразований А' и А".
Если на векторы и последовательно подействовать преобразованиями В' и А', а на векторы у —преобразованиями В" и А", то на произведения ико1 последовательно подействуют преобра-
§ 109] ГРУППОВЫЕ ХАРАКТЕРЫ 393
зования В' кВ” и А'хА", т. е.
(А' х А") • (В' хВ") = А'В’х А"В". (2-)
Если матрицы А', В', ... составляют некоторое представление Ф' группы ©, а матрицы А", В", ... — другое представление ЗУ' той же самой группы, то из (2) следует, что произведения преобразований А = А'хА", В = В’хВ", ... тоже составляют неко-
торое представление. Это произведение представлений ф' и 3)" обозначается через ЗУхЗУ'.
Если символом Ф' + Ф" обозначать приводимое представление, распадающееся на Ф' и Ф", и считать эквивалентные представления одинаковыми, то верны следующие равенства:
Ф' + Ф" = Ф" + Ф',
Ф'хФ" = Ф''хФ',
ф' + (ф"+ф'") = (ф'+ф")+ф"\ Ф'х(Ф"хФ",)-(Ф'хФ")хФ"',
Ф' X (Ф" + Ф'") = Ф' X Ф" + Ф' X Ф'",
(Ф* + Ф'") X Ф' = Ф" X Ф' + Ф"' X Ф'.
В частности, если © — конечная группа, порядок которой не делится на характеристику поля Р, то любое представление полностью распадается на неприводимые представления Фг и оказывается выполненным равенство
фу х фц = 2 С^ф^, (3)
V
где су -целые неотрицательные числа. В формуле (3) символ V — не показатель степени, а индекс.
Из (3) для следов следует равенство
5 к(а) • Vй) = 2 с?:А
V
Если представ тени я абсолютно неприводимы и, следовательно, следы являются характерами, то отсюда можно заключить, что
V
(первое соотношение между характерами).
Характеры как функции классов Если а и а'— сопряженные элементы группы, т. е.
а' = ЬаЬ-1,
то для представляющих матриц имеет место равенство
А’ = В АВ~\
394
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Тем самым А и А' имеют одинаковые следы:
5 (ЬаЬ~г) — 5 (а);
в частности,
X (ЬаЬ-1) = х (а).
Если мы соберем все те элементы группы, которые сопряжены с фиксированным элементом а, в один класс &а, то каждый характер будет иметь одно и то же значение на всех элементах этого класса.
Пусть На — число элементов класса $а, а Иа — сумма элементов этого класса (в групповом кольце с); тогда характер, соответствующий ка, является суммой характеров, соответствующих элементам рассматриваемого класса; таким образом,
X (К) = К • х (а).
Отныне мы будем предполагать, что ни порядок группы /г, ни степень абсолютно неприводимых представлений 1)х не делятся на характеристику основного поля. Как было показано в § 108, элементы к.а порождают центр 3 группового кольца о. Согласно § 107 гомоморфизмы 0У центра 3 связаны с характерами XV следующими соотношениями:
