Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Тем самым мы получили структурную теорему о произведениях:
Пусть 0 — простая алгебра (с единицей) и К — алгебра с делением над полем Р. Одна из данных алгебр предполагается центральной над Р и через К' обозначается тело, инверсно изоморфное телу К. Тогда алгебра 0хК' изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом Д. Единственное неприводимое представление алгебры 0 над К точным образом переводит 0 на
$ 112]
ДВОЙНЫЕ МОДУЛИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
407
некоторое надкольцо 2 в полной матричной алгебре К,-. Централизатор А' алгебры Е в К, инверсно изоморфен алгебре А.
Степень г представления @->-2 является рангом двойного модуля Я)? над К. Если ЭЛ рассматривать как (@ х К')-модуль, то и над К' его ранг будет равен г. Теперь ЭЛ можно выбрать как простой левый идеал [ алгебры ©хК'; ранг этого левого идеала равен, таким образом,
(1: К') = г.
Простое кольцо ©х^'ОеА, является прямой суммой ? таких левых идеалов; следовательно, ранг этого кольца над К' равен 1г. Отсюда вытекает важное соотношение между рангами:
(2 : Р) = (© : Р) = (© х К': К') = Хг. (3)
Формулировка структурной теоремы несколько упростится, если исходить не из ©, а из 2 и вместо © X К' рассматривать изоморфную алгебру 2хК'. Таким образом, в полном матричном кольце К, выбирается подкольцо 2, о котором предполагается, что его матрицы образуют неприводимую систему. Далее, пусть К или 2 (или обе эти алгебры) — центральная алгебра над Р. Тогда структурная теорема утверждает следующее:
Произведение 2 х К' изоморфно полному матричному кольцу над некоторым телом А. Централизатор А' алгебры 2 в алгебре К,. инверсно изоморфен телу А. Ранг алгебры 2 над полем Р равен Iг.
Предположение о том, что 2 является неприводимой системой линейных преобразований, тоже можно опустить. Так как алгебра 2хК' проста, каждое матричное представление алгебры 2 над К вполне приводимо и его неприводимые составляющие эквивалентны. Следовательно, матрицы системы 2 могут при подходящем выборе базиса привестись к виду
Аг
А =
(4)
Л
с ї одинаковыми клетками Аг, расположенными вдоль диагонали. Матрицы А1 образуют неприводимую систему 2^ к которой можно применить доказанную выше структурную теорему. Централизатор системы 2^ включая в себя лишь матрицы Ц, перестановочные со всеми матрицами из 21; вновь является алгеброй Д', инверсно изоморфной алгебре с делением Д. Централизатор Т алгебры 2 состоит из матриц
кі5
(5)
51
где выбираются из Д'. Следовательно, Т ^Д,.
Как легко проверить, между рангами поэлементно перестановочных колец 2 и Т имеет место соотношение
(2 :Р)(Т:Р)=>(К,:Р). (6)
Пз (6) легко получается, что централизатор кольца Т — это опять-таки 2-
408
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИИ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
Рассмотренное здесь симметричное соотношение между системами 2 и Т находится в тесной связи с теорией Галуа, в большой общности рассмотренной в книге: Джекобсон Н. Строение колец, гл. VI и VII.
Обратимся теперь к приложениям основной теоремы.
1. Строение кольца КхК'. Пусть К — центральная алгебра с делением над полем Р. Тогда можно выбрать в качестве 2 само тело К и применить структурную теорему. Порядок г матриц в этом случае равен 1; система 2 тривиальным образом неприводима. Централизатор А' алгебры^К в К является центром Р тела К. Следовательно, А = Р. Соотношение (3) между рангами дает равенство
(К : Р) = Т
Мы получили, таким образом, следующий результат:
Произведение КхК' является полным матричным кольцом над основным полем Р. Порядок ^ соответствующих матриц равен рангу линейного пространства К над полем Р.
2. Максимальные поля в алгебре с делением. Пусть К — произвольная алгебра с делением над полем Р. Если К не является с самого начала центральной алгеброй над Р, то выберем в качестве нового основного поля Р центр 7. тела К. Пусть 2—произвольное максимальное подполе в К. Централизатором поля 2 в теле К является само 2, потому что если элемент 6 перестановочен со всеми элементами из 2, то тело 2 (0) является полем, а так как поле 2 должно быть максимальным, элемент 0 должен принадтежать 2.
В соответствии с этим А = 2 и, следовательно, 2 х К' — полное матричное кольцо над 2. Инверсное к 2хК кольцо
Кх2' = Кх2 = К2
является, таким образом, полным матричным кольцом над 2, т. е. 2 — поле разложения алгебры К. Представление алгебры Кг полным матричным кольцом 2. абсолютно неприводимо. В § 103 мы назвали число / индексом т алгебры с делением К, если оно равно степени абсолютно неприводимого матричного представления алгебры К над • подходящим расширением 2 основного поля Р. Таким образом, в данном случае ї = т и г=1. Соотношение (3) между рангами дает теперь
(2 : Р) = Ї = т,
и мы получаем следующее предложение:
Максимальные подполя алгебры с делением К, центр которой равен Р, являются полями разложения алгебры К и их степень (2 : Р) равна индексу т данного тела.
В качестве приложения этой теоремы мы опишем теперь все алгебры с делением над полем К вещественных чисел.
§ 42]
ДВОЙНЫЕ МОДУЛИ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБР
409
В этом случае коммутативными алгебрами с делением над Р являются лишь Р и Р (1), т. е. поля вещественных и комплексных чисел. Предположим теперь, что К — некоммутативная алгебра с делением над Р. Если Z — ee центр и 2 — какое-нибудь максимальное подполе в К, то
