Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 158

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 247 >> Следующая

(Р\К\ "Т • • • ап^п) и — ащщ ~Т... апик„',
проверка соответствующих аксиом @к*модуля не составляет труда; лишь в доказательстве ассоциативности
(Ьс) и = Ь (си)
нужна коммутативность: если, скажем, Ь = а1х1, с = а2к2 (достаточно, очевидно, рассмотреть лишь этот частный случай), то ассоциативность следует из равенств
(а1х1 • а2х2) и — (а1а2и1х2) и = (ащ^) и (х^),
а1к1 (а2х2 • и) ~ а1х1 (щиу,2) = П) (а2ах2) хх = (а1а2) и (х^).
Оба выражения равны, так как х1х2 = х2х1.
Однако, и в том случае, когда К —тело или даже произвольное кольцо, выход из положения дает конструкция инверсного кольца К', т. е. кольца, инверсно изоморфного кольцу К. Если К —алгебра над Р, то и К' —алгебра над Р. Если К —тело, то и К' является телом.
Имеет место следующее утверждение:
Любой модуль, допускающий @ в качестве области левых, а Н — в качестве области правых мультипликаторов, может рассматриваться и как левый (^хН')-модуль.
§ П2]
ДВОЙНЫЕ модули и произведения алгебр
405
Доказательство такое же, как и выше. Пусть © = = <2]Р+... +апР и, следовательно, ©х К' = ^К' + . • . + алК'.
Тогда мы можем определить
(а1х'1+... + апх'„) и = а1ин1 + .. . + апихп. (1)
Теперь легко проверить все аксиомы. Ассоциативность (Ъс) и = = Ь (си) следует из равенств
(арл\ • а2х2) и = (а^х^) и = (ага2) и (х^),
арл\ (а2х2 ? и) = арі\ (а2ых2) = ах (а2«х2) хх = (ащ^) и (х^).
Тем же способом можно и, наоборот, любой левый (© х К')-модуль рассматривать как левый ©-модуль и как правый К-мо-дуль, пользуясь определением нх = х'н. Поэтому изоморфные ((ЬхН')-модули дают изоморфные двойные модули, и наоборот.
Эти наблюдения имеют много приложений. Пусть К обозначает алгебру с делением, а © — простую алгебру с единицей над Р, причем по крайней мере одна из алгебр © или К центральна над Р. Тогда согласно § 103 произведение ©хК' простое. В силу § 105 все простые левые (© х К')-модули изоморфны друг другу и простым левым идеалам в ©хК'. Следовательно, изоморфны все простые (левые над © и правые над К) двойные модули. Мы получили предложение:
Все неприводимые представления алгебры © над К эквивалентны.
Так как алгебра © проста, все эти представления точные. Каждое из них отображает алгебру © и на некоторое подкольцо 2 полного матричного кольца Кг. Любые два таких представления «і—и «і—*? переводящие © на 2Х и на 22, эквива-
лентны. Согласно § 87 это означает, что существует некоторая не зависящая от 8 матрица (}, переводящая в 52 по правилу
53 = 0-151р. (2)
Отсюда совсем легко получается
Теорема об автоморфизмах. Если 2Х и 23 — две изоморфные простые подалгебры центральной простой алгебры Кл, то любой изоморфизм между и Е2, оставляющий неподвижными элементы основного поля, определяется некоторым внутренним автоморфизмом алгебры Кл с помощью равенства (2).
Действительно, любые две такие алгебры 2! и 22 всегда можно рассматривать как представления одной алгебры @. Если эти представления приводимы, то они распадаются на одно и то же число неприводимых представлений, потому что степени обоих рассматриваемых представлений равны одному и тому же числу г. Так как эти неприводимые представления эквивалентны, то и исходные представления тоже эквивалентны.
406
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ. XIV
В качестве частного случая отсюда мы получаем:
Любой автоморфизм кольца Кл, оставляющий неподвижными элементы центра Р, является внутренним.
Когда в последующем речь зайдет об изоморфизмах или автоморфизмах алгебр с единицей, всегда будет предполагаться, что зги отображения оставляют неподвижными элементы основного поля Р. К таковым относятся во всяком случае внутренние автоморфизмы.
Пусть опять 0 —некоторая простая алгебра и К — некоторая алгебра с делением над Р. Одна из алгебр 0 или К предполагается центральной. Тогда алгебра 0хК' проста, а потому изоморфна полному матричному кольцу Д* над некоторым телом Д. Выясним, что можно сказать об этом теле Д.
В общем случае Д является кольцом правых эндоморфизмов некоторого простого (0хК')-модуля, который согласно сказанному в начале может рассматриваться и как двойной модуль (левый над 0 и правый над К). Каждый эндоморфизм (0хК')-модуля взаимно однозначным образом определяет эндоморфизм упомянутого двойного модуля ЭЛ; поэтому кольцо Д изоморфно кольцу правых эндоморфизмов двойного модуля ЭЭ1. Следовательно, инверсное тело Д' изоморфно кольцу левых эндоморфизмов двойного модуля ЭЛ. Можно, конечно, отождествить Д' с этим кольцом левых эндоморфизмов.
Если двойной модуль ЭЛ рассматривается как векторное пространство над К, то элементы а кольца 0 индуцируют линейные преобразования А этого векторного пространства:
аи = Аи.
Как мы видели, с помощью представления а*—* А кольцо 0 отображается на подкольцо Б матричного кольца Кг. Левые эндоморфизмы модуля ЭЛ, а потому и элементы кольца Д', являются согласно § 100 линейными преобразованиями Ь этого векторного пространства, коммутирующими с преобразованиями А:
ЬА = АЬ для всех ЛеЕ.
Таким образом, кольцо Д' является централизатором кольца 2 в кольце К,., т. е. кольцом тех матриц Ь из Кл, которые перестановочны со всеми матрицами А из 2.
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed