Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 107. Следы и характеры
Следом элемента а в представлении 2) — обозначение 5® (а) или просто 5 (а)
— называется след 5 (Л) матрицы А, которую представление 2) сопоставляет элементу а. След 5® при фиксированном 2), рассматриваемый как функция от а, называется также следом представления 2).
В силу соотношения
Я(Р МР) = 5(Л)
эквивалентные представления имеют равные следы.
Следы являются линейными функциями, т. е. справедливы равенства:
8(а + Ь) = 8{а) + 8(Ь),
5 (аР) = 5 (а) р.
Следы абсолютно неприводимых представлений (или, что то же самое, следы неприводимых представлений над алгебраически замкнутым полем) называются характерами 1). Характер элемента а в у-м неприводимом представлении 2Х будет обозначаться через
XV И-
Когда речь идет о фиксированном представлении, индекс V будет, как правило, опускаться.
При любом абсолютно неприводимом представлении 2\, степени «V элементы центра г представляются в соответствии с § 106 диагональными матрицами ?-0у(2), где 0У — некоторый гомоморфизм центра в поле П. След матрицы Е • 0^, (г) задается равенством
1У{г) = п^ву(г). (1)
В частности, единичный элемент кольца о представляется единичной матрицей Е, след которой равен
Ху (1) = пу
0 Многие авторы употребляют слово «характер» и для приводимых представлений и говорят в этом случае о «сложных характерах». Мы избегаем такой терминологии, потому что в частном случае абелевых групп она не совпадает по смыслу с принятым еще в давние времена термином «характер» (ср. § 54); кроме того, слово «след» не менее четко выражает суть дела.
§ 107]
СЛЕДЫ И ХАРАКТЕРЫ
387
В дальнейшем мы предполагаем, что степень п^ абсолютно неприводимых представлений не делится на характеристику поля ?2. Тогда (1) можно разделить на пу и получить
0т(г) = ^. (2)
Так гомоморфизмы центра описываются с помощью характеров.
Теорема. Любое вполне приводимое представление алгебры о над полем ?2 характеристики 0 однозначно с точностью до эквивалентности определяется следами представляемых матриц.
Доказательство. Если № — радикал кольца о, то любое вполне приводимое представление алгебры о совпадает с некоторым вполне приводимым представлением факторалгебры о/ЗТ По условию, следы матриц, представляющих элементы алгебры о/Ш, известны. Пусть
о/ЭД = лх а„
и ..., еп — единицы в кольцах а1э ..., а„ соответственно.
Тогда в неприводимом представлении элемент сц, представляется построчной единичной матрицей; тем самым соответствую-
щий след равен
24 = Щ)>
и одновременно
^ы = 0 для ц,=^у.
Далее, вполне приводимое представление известно, как только известно, сколько раз в него входит каждое неприводимое представление 2\,. Если, скажем, представление Тд входит ^ раз, то все рассматриваемое представление состоит из ^ блоков ТД, </2 блоков 2>а и т. д. След элемента в этом представлении равен тогда
5 (еД = <7(3)
Из (3) можно вычислить параметры <7У) как только известны следы 5 (еу). Теорема доказана.
Замечание. Следы всех элементов кольца о становятся известными, как только известны следы базисных элементов алгебры с. Таким образом, если, например, о —групповое кольцо некоторой конечной группы, то нужно лишь знать следы элементов группы —и тогда представление задано. Если аь ..., ап — базисные элементы и (ад — их следы при неприводимых представлениях, то для любого представления имеют место равенства:
5 Ы = 2 {ад- (4)
V = 1
Согласно доказанной выше теореме этими равенствами числа рч определяются однозначно. Равенства (4) дают численный метод
388
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП И АЛГЕБР
[ГЛ XIV
разложения вполне приводимого представления на неприводимые составляющие посредством вычисления следов. При этом должны быть заранее заданы характеры неприводимых представлений.
§ 108. Представления конечных групп
Мы докажем прежде всего следующую теорему:
Теорема Машке. Любое представление конечной группы © над полем Р, характеристика которого не делит порядок к группы ©, вполне приводимо.
Доказательство. Пусть модуль представления ЭЛ приводим и 91 — его минимальный подмодуль. Покажем, что ЭЛ является прямой суммой Л + Л", где Л" —вновь некоторый модуль представления.
Как векторное пространство, модуль ЭЛ распадается в прямую сумму 9? +Л', но пространство Л' при этом может и не быть инвариантным относительно ©. Если у— произвольный элемент из Л' и а — произвольный элемент из ©, то ау однозначно представляется в виде суммы некоторого элемента из Л и некоторого элемента у' из Л', так что
ау = у' (шос! Л).
При фиксированном а элемент у' однозначно определяется элементом у и зависит от у линейно: из ау = у' и аг = г' следует, что а(у + г) = у' + г' и ау$^у'|3 для любого РеР. Поэтому можно записать
у' = А'у, А'у == ау (шос! 9{),
где Л' —линейное преобразование подпространства 91', зависящее от а. Таким образом, преобразования А' составтяют некоторое представление группы ©, потому что из а<—-А' и Ь*—-В следует, что аЬ I—*-А'В'.
Положим
\ 2 а~'А’у = 0у = у";
а
тогда у" также линейно зависит от у и элементы у" образуют некоторое линейное подпространство 91" = 0.91'. Но тогда по модулю Л имеем
